Bonjour, d'après mon cours le corps des fractions de l'anneau $\mathbb Z[ i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb Z \}$ est $\mathbb Q(i)=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb Q \}$, pourquoi? Merci pour votre aide.
Intéressant : l'ami Wikipédia fonctionne dans l'autre sens et préfère définir le corps des rationnels de Gauss d'abord, et définit $\Z [ i ]$ comme l'anneau des entiers algébriques de ce corps-là.
Sinon, le corps des fractions d'un anneau se construit toujours de la même manière, donc il faudrait identifier les inversibles de $\Z[ i ]$. Mis à part résoudre en 2 lignes l'équation $(a+bi)(c+di)=1$, je n'ai pas de grande idée pour l'instant.
Si $a+ib\in\mathbb Z[ i]$ est inversible, alors $N(a+ib)=a^2+b^2$ est inversible dans $\mathbb Z$ donc les inversibles de $\mathbb Z[ i]$ sont $\pm 1$ et $\pm i$.
Mais là n'est pas la question !
C'est l'intégrité de $\mathbb Z[ i]$ qui rend la question légitime.
@HT : Rien à voir avec la recherche des inversibles. $\mathbb Z[ i]$ est un anneau intègre, donc son corps de fractions est (formellement) le corps dont les éléments sont les expressions de la forme $\frac{z}{z'}$ où $z, z' \in \mathbb Z[ i]$ et $z' \neq 0$.
Comme le suggère nicolas.patrois, il suffit de montrer que pour tout $(a, b) \in \mathbb Z^2 \setminus \{(0, 0)\}$, $\frac{1}{a+ib}$ est de la forme $x+iy$ avec $x, y \in \mathbb Q$.
Ben $\mathrm{Frac}(\mathbb Z[ i])\subset\mathbb Q(i)$ c'est justement l'inclusion non triviale qui utilise le caractère algébrique de $i$... L'autre est presque évidente. Dans tous les cas il faut montrer les deux.
Il suffit de montrer que $\Q(i)$ est un corps pour obtenir la première inclusion. La seconde inclusion résulte de la stabilité de l’addition, de la multiplication et de l’inversion dans $\textrm{Frac}(\Z[ i])$.
Bonjour, je reviens sur cette question car je souhaiterais vraiment la résoudre, mais je n'ai compris aucune de vos indications pour l'instant.
Dans mon cours, pour $A$ un anneau intègre, on définit le corps suivant:
$X:=A\times (A\setminus \{0\})=\{(a,b)\mid a\in A,b\in A\setminus \{0\}\}$ et la relation d'équivalence sur $X$ qui est $(a,b)\sim (c,d)\iff ad=bc\in A$.
On pose ensuite $\mathbb Q(A)=X/\sim$ l'ensemble des classes d'équivalence.
On montre ensuite que $\mathbb Q(A)$ est un corps (avec les opérations que vous connaissez) et qu'il y a un plongement $i:A\to \mathbb Q(A)$.
Voilà pour la définition. Ensuite j'ai une autre propriété dans mon cours qui dit la chose suivante: Pour tout plongement $\varphi:A\to K$ avec $K$ un corps, il existe un plongement $\bar \varphi:\mathbb Q(A)\to K$ tel que $\bar \varphi \circ i=\varphi$.
Voilà et c'est tout ce que je sais sur le corps des fractions...
Ça c'est le jargon technique propre à la localisation. En pratique, ça veut dire que, si $A$ est un anneau intègre, son corps des fractions $F$ est le corps dont les éléments sont notés $\frac{a}{b}$ avec $a,b \in A$ et $b \neq 0$, vérifiant $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{ad}$ et $\frac{ab}{ac} = \frac{b}{c}$, en quantifiant comme il faut sur $a,b,c$ et $d$. Le plongement $A \to F$ veut simplement dire qu'on identifie $a \in A$ avec $\frac{a}{1} \in F$. Le dernier point veut dire que c'est "le plus petit corps contenant $A$", au sens où si $K$ est un corps contenant $A$, alors il contient aussi $F$.
Puisqu'on parle beaucoup ces temps-ci de l'anneau des entiers de Gauss $\mathbb G=\mathbb Z[ i]$, je me permets une digression, qui n'a rien à voir avec le corps des fractions de $\mathbb G$. C'est un énoncé que je viens de retrouver dans mes papiers et que je trouve joli.Démontrer que pour tout $n \in \mathbb N$, il existe un disque du plan complexe qui contient exactement $n$ éléments de $\mathbb G=\mathbb Z[ i]$.Ça ne fait pas appel à de très hautes mathématiques, mais c'est comme l’œuf de Christophe Colomb : il faut y penser.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.
Poirot, pourquoi est-ce que le dernier point veut dire que c'est le plus petit corps contenant $A$? J'essaie de trouver une interprétation...
Si j'ai un corps $K$ qui contient $A$ alors le plongement en question est simplement l'identité c'est ca? Donc il existe un plongement de $F$ vers $K$ tel que $\bar \varphi(i(a))=\varphi(a)=a$ en d'autres termes pour $y\in Im (i)\subset F: y=i(a)$ on a que $\bar \varphi(y)=a$.
Tu peux voir $\varphi$ comme une inclusion (c'est loisible, puisque c'est un "plongement" autrement dit un morphisme d'anneaux injectif), autrement dit $A \subset K$. On fait de même avec $i$, ce qui donne $A \subset F$. La compatibilité $\overline{\varphi} \circ i = \varphi$ signifie simplement que $\overline{\varphi} : F \hookrightarrow K$ est telle que $\overline{\varphi}(a)=a$ poiur tout $a \in A$. Autrement dit, "l'inclusion $F \subset K$ est compatible avec les inclusions $A \subset F$ et $A \subset K$".
Oui, ça ne coûte rien car ce sont des morphismes injectifs. C'est pour t'expliquer pourquoi la traduction morale du dernier point est que $F$ est le plus petit corps contenant $A$.
On veut montrer que $\mathbb Q(i)$ est le corps des fractions de $\mathbb Z[ i]$.
Soit $F$ le corps des fractions de $\mathbb Z[ i]$. Alors $\mathbb Z[ i]\subset F$ dans le sens qu'on a le plongement $i:\mathbb Z[ i]\to F$.
Montrons qu'on a un plongement $p:F\to \mathbb Q(i)$.
C'est-à-dire qu'il faudrait essayer d'écrire tout élément $\frac{a+bi}{c+di}\in F$ comme $x+iy$ où $x,y\in \mathbb Q$.
On sait que dans $\mathbb C$ l'inverse d'un élément $c+di$ est donné par $\frac{c}{c^2+d^2}-\frac{d}{c^2+d^2}i$. Mais je ne suis pas sûr du tout pourquoi dans $F$ l'inverse d'un élément est forcément aussi de cette forme...
Enfin bref si on suppose que c'est forcément de cette forme alors on trouve l'inverse de notre élément $c+di$ qui s'écrit $\frac{c}{c^2+d^2}-\frac{d}{c^2+d^2}i$ avec effectivement $\frac{c}{c^2+d^2}$ et $\frac{d}{c^2+d^2}$ qui sont dans $\mathbb Q$.
Donc $(a+bi)(\frac{c}{c^2+d^2}-\frac{d}{c^2+d^2}i)=\frac{ac}{c^2+d^2}+\frac{bd}{c^2+d^2}+i(\frac{bc}{c^2+d^2}-\frac{ad}{c^2+d^2})$.
Donc finalement on définit notre plongement $p:F\to \mathbb Q(i)$ tel que $p(\frac{a+bi}{c+di})=\frac{ac}{c^2+d^2}+\frac{bd}{c^2+d^2}+i(\frac{bc}{c^2+d^2}-\frac{ad}{c^2+d^2})$. Mais, je ne suis pas sûr pourquoi c'est un plongement (comment vérifier que c'est injectif ou que c'est un homomorphisme d'anneau?...)
On vérifier maintenant l'existence d'un autre plongement $p':\mathbb Q(i)\to F$.
Comme avant, on écrit tout simplement $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}i=\frac{ad+cbi}{bd}$ et donc ca donne directement notre plongement $p'$ (encore une fois comment vérifier que c'est effectivement un plongement...?)
En conclusion on a deux plongement $p:F\to \mathbb Q(i)$ et $p':\mathbb Q(i)\to F$ et donc on en conclut que le corps des fractions de $F$ est bien $\mathbb Q(i)$ c'est ca?
$(a+bi)(c+di)=1$ implique $ac-bd+i(bc+ad)=1$ donc $\begin{cases}
ac-bd=1\\
bc+ad=0
\end{cases}$.
La deuxième ligne implique que $c=\frac{-ad}{b}$ bien défini car l'inverse de $b$ est l'inverse de l'élément $b\in \mathbb Z[ i]$ donc bien dans le corps des fractions.
Par des calculs on voit que $d=-\frac{b}{b^2+a^2}$ et donc $c=\frac{a}{b^2+a^2}$ donc ok.
J'ai encore des questions relatives aux plongements dans mon message précédent, quelqu'un peut-il m'aider? Merci.
@Code_Name : bonjour. Il est possible de ne faire quasiment aucun calcul. En effet, soit $z\in\C^*$ qui est inversible, d'inverse noté $z^{-1}$ ; ce qui se traduit par $z^{-1}\,z=z\,z^{-1}=1$. Partant\[z^{-1}=\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{z\,\overline{z}}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^2}\]Posant $z=a+i\,b$ pour certains réels non tous deux nuls $a$ et $b$, l'on tire avec aisance et sans efforts que (...)
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
Effectivement Thierry je me suis embrouillé car je n'étais pas sûr si cette formule était valable mais elle l'est vu que $\frac{1}{|z|^2}$ est bel et bien dans le corps des fractions de $\mathbb Z[ i]$.
Réponses
Sinon, le corps des fractions d'un anneau se construit toujours de la même manière, donc il faudrait identifier les inversibles de $\Z[ i ]$. Mis à part résoudre en 2 lignes l'équation $(a+bi)(c+di)=1$, je n'ai pas de grande idée pour l'instant.
Mais là n'est pas la question !
C'est l'intégrité de $\mathbb Z[ i]$ qui rend la question légitime.
-- Schnoebelen, Philippe
Comme le suggère nicolas.patrois, il suffit de montrer que pour tout $(a, b) \in \mathbb Z^2 \setminus \{(0, 0)\}$, $\frac{1}{a+ib}$ est de la forme $x+iy$ avec $x, y \in \mathbb Q$.
C'est surtout l'autre inclusion qu'il faut montrer.
On fait ça dès qu'on commence à étudier les corps non ?
-- Schnoebelen, Philippe
Dans mon cours, pour $A$ un anneau intègre, on définit le corps suivant:
$X:=A\times (A\setminus \{0\})=\{(a,b)\mid a\in A,b\in A\setminus \{0\}\}$ et la relation d'équivalence sur $X$ qui est $(a,b)\sim (c,d)\iff ad=bc\in A$.
On pose ensuite $\mathbb Q(A)=X/\sim$ l'ensemble des classes d'équivalence.
On montre ensuite que $\mathbb Q(A)$ est un corps (avec les opérations que vous connaissez) et qu'il y a un plongement $i:A\to \mathbb Q(A)$.
Voilà pour la définition. Ensuite j'ai une autre propriété dans mon cours qui dit la chose suivante: Pour tout plongement $\varphi:A\to K$ avec $K$ un corps, il existe un plongement $\bar \varphi:\mathbb Q(A)\to K$ tel que $\bar \varphi \circ i=\varphi$.
Voilà et c'est tout ce que je sais sur le corps des fractions...
Bonne après-midi.
Fr. Ch.
Si j'ai un corps $K$ qui contient $A$ alors le plongement en question est simplement l'identité c'est ca? Donc il existe un plongement de $F$ vers $K$ tel que $\bar \varphi(i(a))=\varphi(a)=a$ en d'autres termes pour $y\in Im (i)\subset F: y=i(a)$ on a que $\bar \varphi(y)=a$.
Ca ne m'éclaire pas vraiment en fait...
$\mathbb Z[ i]= \{a+bi\mid a,b\in \mathbb Z\}$ et $\mathbb Q(i) = \{a+bi\mid a,b\in \mathbb Q\}$.
On veut montrer que $\mathbb Q(i)$ est le corps des fractions de $\mathbb Z[ i]$.
Soit $F$ le corps des fractions de $\mathbb Z[ i]$. Alors $\mathbb Z[ i]\subset F$ dans le sens qu'on a le plongement $i:\mathbb Z[ i]\to F$.
Montrons qu'on a un plongement $p:F\to \mathbb Q(i)$.
C'est-à-dire qu'il faudrait essayer d'écrire tout élément $\frac{a+bi}{c+di}\in F$ comme $x+iy$ où $x,y\in \mathbb Q$.
On sait que dans $\mathbb C$ l'inverse d'un élément $c+di$ est donné par $\frac{c}{c^2+d^2}-\frac{d}{c^2+d^2}i$. Mais je ne suis pas sûr du tout pourquoi dans $F$ l'inverse d'un élément est forcément aussi de cette forme...
Enfin bref si on suppose que c'est forcément de cette forme alors on trouve l'inverse de notre élément $c+di$ qui s'écrit $\frac{c}{c^2+d^2}-\frac{d}{c^2+d^2}i$ avec effectivement $\frac{c}{c^2+d^2}$ et $\frac{d}{c^2+d^2}$ qui sont dans $\mathbb Q$.
Donc $(a+bi)(\frac{c}{c^2+d^2}-\frac{d}{c^2+d^2}i)=\frac{ac}{c^2+d^2}+\frac{bd}{c^2+d^2}+i(\frac{bc}{c^2+d^2}-\frac{ad}{c^2+d^2})$.
Donc finalement on définit notre plongement $p:F\to \mathbb Q(i)$ tel que $p(\frac{a+bi}{c+di})=\frac{ac}{c^2+d^2}+\frac{bd}{c^2+d^2}+i(\frac{bc}{c^2+d^2}-\frac{ad}{c^2+d^2})$. Mais, je ne suis pas sûr pourquoi c'est un plongement (comment vérifier que c'est injectif ou que c'est un homomorphisme d'anneau?...)
On vérifier maintenant l'existence d'un autre plongement $p':\mathbb Q(i)\to F$.
Comme avant, on écrit tout simplement $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}i=\frac{ad+cbi}{bd}$ et donc ca donne directement notre plongement $p'$ (encore une fois comment vérifier que c'est effectivement un plongement...?)
En conclusion on a deux plongement $p:F\to \mathbb Q(i)$ et $p':\mathbb Q(i)\to F$ et donc on en conclut que le corps des fractions de $F$ est bien $\mathbb Q(i)$ c'est ca?
Edit: j'ai corrigé une coquille.
-- Schnoebelen, Philippe
$(a+bi)(c+di)=1$ implique $ac-bd+i(bc+ad)=1$ donc $\begin{cases}
ac-bd=1\\
bc+ad=0
\end{cases}$.
La deuxième ligne implique que $c=\frac{-ad}{b}$ bien défini car l'inverse de $b$ est l'inverse de l'élément $b\in \mathbb Z[ i]$ donc bien dans le corps des fractions.
Par des calculs on voit que $d=-\frac{b}{b^2+a^2}$ et donc $c=\frac{a}{b^2+a^2}$ donc ok.
J'ai encore des questions relatives aux plongements dans mon message précédent, quelqu'un peut-il m'aider? Merci.