Corps des fractions de $\mathbb Z[ i]$
Réponses
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On peut le montrer par double inclusion.
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Intéressant : l'ami Wikipédia fonctionne dans l'autre sens et préfère définir le corps des rationnels de Gauss d'abord, et définit $\Z [ i ]$ comme l'anneau des entiers algébriques de ce corps-là.
Sinon, le corps des fractions d'un anneau se construit toujours de la même manière, donc il faudrait identifier les inversibles de $\Z[ i ]$. Mis à part résoudre en 2 lignes l'équation $(a+bi)(c+di)=1$, je n'ai pas de grande idée pour l'instant. -
je vois merci, j'y repasserais plus tard la définition du corps des fractions est un poil subtil et ce n'est pas trop pressant pour le moment.
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Si $a+ib\in\mathbb Z[ i]$ est inversible, alors $N(a+ib)=a^2+b^2$ est inversible dans $\mathbb Z$ donc les inversibles de $\mathbb Z[ i]$ sont $\pm 1$ et $\pm i$.
Mais là n'est pas la question !
C'est l'intégrité de $\mathbb Z[ i]$ qui rend la question légitime. -
Complète les trous : $\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(?+?i)}{\text{un nombre entier non nul}}$.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
@HT : Rien à voir avec la recherche des inversibles. $\mathbb Z[ i]$ est un anneau intègre, donc son corps de fractions est (formellement) le corps dont les éléments sont les expressions de la forme $\frac{z}{z'}$ où $z, z' \in \mathbb Z[ i]$ et $z' \neq 0$.
Comme le suggère nicolas.patrois, il suffit de montrer que pour tout $(a, b) \in \mathbb Z^2 \setminus \{(0, 0)\}$, $\frac{1}{a+ib}$ est de la forme $x+iy$ avec $x, y \in \mathbb Q$. -
Non Poirot, il est évident que $\mathrm{Frac}(\mathbb Z[ i])\subset\mathbb Q(i)$.
C'est surtout l'autre inclusion qu'il faut montrer. -
Ben $\mathrm{Frac}(\mathbb Z[ i])\subset\mathbb Q(i)$ c'est justement l'inclusion non triviale qui utilise le caractère algébrique de $i$... L'autre est presque évidente. Dans tous les cas il faut montrer les deux.
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Pourtant $\mathbb Z[ i]\subset\mathbb Q(i)$ donc, comme $\mathbb Q(i)$ est un corps, on a $\mathrm{Frac}(\mathbb Z[ i])\subset\mathbb Q(i)$.
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Il suffit de montrer que $\Q(i)$ est un corps pour obtenir la première inclusion. La seconde inclusion résulte de la stabilité de l’addition, de la multiplication et de l’inversion dans $\textrm{Frac}(\Z[ i])$.
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Encore faut-il montrer que, avec seulement la définition ensembliste donnée dans le premier message, $\mathbb Q(i)$ est un corps. ;-)
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$i$ est de degré $2$ sur $\mathbb Q$ donc...
On fait ça dès qu'on commence à étudier les corps non ? -
J'ai vu cet exercice en MPSI, bien avant de parler d'extensions de corps...
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Ok, reste à voir à quel niveau se situe le cours de Code_Name.
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Dans l’autre sens, $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}i=\frac{e+fi}{g}$. À toi de combler les trous.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Poirot : je ne savais pas ça, tiens. Je ne connais que la définition "générale" du corps des fractions.
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Et quelle est cette définition "générale" ?
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Laisse tomber, j'ai relu et j'avais confondu avec autre chose. :)o
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Bonjour, je reviens sur cette question car je souhaiterais vraiment la résoudre, mais je n'ai compris aucune de vos indications pour l'instant.
Dans mon cours, pour $A$ un anneau intègre, on définit le corps suivant:
$X:=A\times (A\setminus \{0\})=\{(a,b)\mid a\in A,b\in A\setminus \{0\}\}$ et la relation d'équivalence sur $X$ qui est $(a,b)\sim (c,d)\iff ad=bc\in A$.
On pose ensuite $\mathbb Q(A)=X/\sim$ l'ensemble des classes d'équivalence.
On montre ensuite que $\mathbb Q(A)$ est un corps (avec les opérations que vous connaissez) et qu'il y a un plongement $i:A\to \mathbb Q(A)$.
Voilà pour la définition. Ensuite j'ai une autre propriété dans mon cours qui dit la chose suivante: Pour tout plongement $\varphi:A\to K$ avec $K$ un corps, il existe un plongement $\bar \varphi:\mathbb Q(A)\to K$ tel que $\bar \varphi \circ i=\varphi$.
Voilà et c'est tout ce que je sais sur le corps des fractions... -
Ça c'est le jargon technique propre à la localisation. En pratique, ça veut dire que, si $A$ est un anneau intègre, son corps des fractions $F$ est le corps dont les éléments sont notés $\frac{a}{b}$ avec $a,b \in A$ et $b \neq 0$, vérifiant $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{ad}$ et $\frac{ab}{ac} = \frac{b}{c}$, en quantifiant comme il faut sur $a,b,c$ et $d$. Le plongement $A \to F$ veut simplement dire qu'on identifie $a \in A$ avec $\frac{a}{1} \in F$. Le dernier point veut dire que c'est "le plus petit corps contenant $A$", au sens où si $K$ est un corps contenant $A$, alors il contient aussi $F$.
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Puisqu'on parle beaucoup ces temps-ci de l'anneau des entiers de Gauss $\mathbb G=\mathbb Z[ i]$, je me permets une digression, qui n'a rien à voir avec le corps des fractions de $\mathbb G$. C'est un énoncé que je viens de retrouver dans mes papiers et que je trouve joli.Démontrer que pour tout $n \in \mathbb N$, il existe un disque du plan complexe qui contient exactement $n$ éléments de $\mathbb G=\mathbb Z[ i]$.Ça ne fait pas appel à de très hautes mathématiques, mais c'est comme l’œuf de Christophe Colomb : il faut y penser.
Bonne après-midi.
Fr. Ch. -
Poirot, pourquoi est-ce que le dernier point veut dire que c'est le plus petit corps contenant $A$? J'essaie de trouver une interprétation...
Si j'ai un corps $K$ qui contient $A$ alors le plongement en question est simplement l'identité c'est ca? Donc il existe un plongement de $F$ vers $K$ tel que $\bar \varphi(i(a))=\varphi(a)=a$ en d'autres termes pour $y\in Im (i)\subset F: y=i(a)$ on a que $\bar \varphi(y)=a$.
Ca ne m'éclaire pas vraiment en fait... -
Tu peux voir $\varphi$ comme une inclusion (c'est loisible, puisque c'est un "plongement" autrement dit un morphisme d'anneaux injectif), autrement dit $A \subset K$. On fait de même avec $i$, ce qui donne $A \subset F$. La compatibilité $\overline{\varphi} \circ i = \varphi$ signifie simplement que $\overline{\varphi} : F \hookrightarrow K$ est telle que $\overline{\varphi}(a)=a$ poiur tout $a \in A$. Autrement dit, "l'inclusion $F \subset K$ est compatible avec les inclusions $A \subset F$ et $A \subset K$".
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On est d'accord qu'il y a un abus de notation dans ce que tu écris? Tu identifies $a$ à $\varphi(a)$ et $i(a)$.
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Oui, ça ne coûte rien car ce sont des morphismes injectifs. C'est pour t'expliquer pourquoi la traduction morale du dernier point est que $F$ est le plus petit corps contenant $A$.
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Bonsoir, désolé pour le retard j'étais un peu occupé, voici ce que je vous propose. J'essaie d'être le plus rigoureux possible pour cette fois.
$\mathbb Z[ i]= \{a+bi\mid a,b\in \mathbb Z\}$ et $\mathbb Q(i) = \{a+bi\mid a,b\in \mathbb Q\}$.
On veut montrer que $\mathbb Q(i)$ est le corps des fractions de $\mathbb Z[ i]$.
Soit $F$ le corps des fractions de $\mathbb Z[ i]$. Alors $\mathbb Z[ i]\subset F$ dans le sens qu'on a le plongement $i:\mathbb Z[ i]\to F$.
Montrons qu'on a un plongement $p:F\to \mathbb Q(i)$.
C'est-à-dire qu'il faudrait essayer d'écrire tout élément $\frac{a+bi}{c+di}\in F$ comme $x+iy$ où $x,y\in \mathbb Q$.
On sait que dans $\mathbb C$ l'inverse d'un élément $c+di$ est donné par $\frac{c}{c^2+d^2}-\frac{d}{c^2+d^2}i$. Mais je ne suis pas sûr du tout pourquoi dans $F$ l'inverse d'un élément est forcément aussi de cette forme...
Enfin bref si on suppose que c'est forcément de cette forme alors on trouve l'inverse de notre élément $c+di$ qui s'écrit $\frac{c}{c^2+d^2}-\frac{d}{c^2+d^2}i$ avec effectivement $\frac{c}{c^2+d^2}$ et $\frac{d}{c^2+d^2}$ qui sont dans $\mathbb Q$.
Donc $(a+bi)(\frac{c}{c^2+d^2}-\frac{d}{c^2+d^2}i)=\frac{ac}{c^2+d^2}+\frac{bd}{c^2+d^2}+i(\frac{bc}{c^2+d^2}-\frac{ad}{c^2+d^2})$.
Donc finalement on définit notre plongement $p:F\to \mathbb Q(i)$ tel que $p(\frac{a+bi}{c+di})=\frac{ac}{c^2+d^2}+\frac{bd}{c^2+d^2}+i(\frac{bc}{c^2+d^2}-\frac{ad}{c^2+d^2})$. Mais, je ne suis pas sûr pourquoi c'est un plongement (comment vérifier que c'est injectif ou que c'est un homomorphisme d'anneau?...)
On vérifier maintenant l'existence d'un autre plongement $p':\mathbb Q(i)\to F$.
Comme avant, on écrit tout simplement $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}i=\frac{ad+cbi}{bd}$ et donc ca donne directement notre plongement $p'$ (encore une fois comment vérifier que c'est effectivement un plongement...?)
En conclusion on a deux plongement $p:F\to \mathbb Q(i)$ et $p':\mathbb Q(i)\to F$ et donc on en conclut que le corps des fractions de $F$ est bien $\mathbb Q(i)$ c'est ca?
Edit: j'ai corrigé une coquille. -
Pour l’inverse, résous l’équation $(a+bi)(c+di)=1$ d’inconnue le facteur que tu veux.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Merci pour l'indication:
$(a+bi)(c+di)=1$ implique $ac-bd+i(bc+ad)=1$ donc $\begin{cases}
ac-bd=1\\
bc+ad=0
\end{cases}$.
La deuxième ligne implique que $c=\frac{-ad}{b}$ bien défini car l'inverse de $b$ est l'inverse de l'élément $b\in \mathbb Z[ i]$ donc bien dans le corps des fractions.
Par des calculs on voit que $d=-\frac{b}{b^2+a^2}$ et donc $c=\frac{a}{b^2+a^2}$ donc ok.
J'ai encore des questions relatives aux plongements dans mon message précédent, quelqu'un peut-il m'aider? Merci. -
@Code_Name : bonjour. Il est possible de ne faire quasiment aucun calcul. En effet, soit $z\in\C^*$ qui est inversible, d'inverse noté $z^{-1}$ ; ce qui se traduit par $z^{-1}\,z=z\,z^{-1}=1$. Partant\[z^{-1}=\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{z\,\overline{z}}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^2}\]Posant $z=a+i\,b$ pour certains réels non tous deux nuls $a$ et $b$, l'on tire avec aisance et sans efforts que (...)Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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Effectivement Thierry je me suis embrouillé car je n'étais pas sûr si cette formule était valable mais elle l'est vu que $\frac{1}{|z|^2}$ est bel et bien dans le corps des fractions de $\mathbb Z[ i]$.
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