Corps de fonctions algébriques

mehdi2625 · September 2021

Bonjour à tous,
Je vous remercie d'avance pour votre aide. Mon problème est une affirmation dans une preuve. On veut démontrer l'existence des anneaux de valuation (donc des places) dans les corps de fonctions algébriques.
Etant donnés deux anneaux R et O et un corps F tels que R est inclus dans O et O inclus strictement dans F. I (différent de {0}) un idéal propre de R (différent de R). On pose IO l'ensemble des sommes finies de produits des éléments de I et de O. On sait que IO est un idéal de O et que IO est différent de O. L'affirmation en question est la suivante: Soit z dans F tel que z et z^-1 n'appartiennent pas à O, alors IO[z] = O[z].
Merci encore!

Mahdi

marco · September 2021

Soit $R=\Z$, $O=\Z[X]$ et $F=\Q(X,Y)$. Soit $I=2\Z$, alors $IO=2\Z[X]$. Soit $z=Y$, alors ni $z$ ni $z^{-1}$ n'appartiennent à $O$, mais $IO[z]=IO[Y]=2\Z[X,Y] \neq \Z[X,Y]=O[Y]=O[z]$.
Donc il manque une hypothèse.

mehdi2625 · September 2021

Effectivement une information manque. En fait F est une extension algébrique finie de K(x) où K est un corps et x (dans F) un élément transcendant sur K, on a de plus les inclusions K dans R dans O dans F. On a enfin l'ensemble T = {S | S est un anneaux dans F avec R inclus dans S et IS différent de S} et O est l'élément maximal de T. On a aussi I inclus dans O\O^x où O^x sont les unités de O.

marco · September 2021

Soit $z \notin O$, alors $O[z]$ est un anneau contenant strictement $O$. $R$ est inclus dans $O$, donc $R$ est inclus dans $O[z]$. Si $O[z]\neq IO[z]$, alors $O[z] \in T$, donc $O$ n'est pas maximal dans $T$, ce qui est faux, donc $O[z]=IO[z]$.

mehdi2625 · September 2021

Si simple!! Merci beaucoup pour votre aide!

Corps de fonctions algébriques

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Bonjour!

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