Produit de deux polynômes
Avez-vous des exemples """intéressants""" où la multiplication entre polynômes sert ?
Pour rappel, si $A$ un anneau commutatif, $P=\sum\limits_{n\in\N}a_n X^n$ et $Q=\sum\limits_{n\in\N}b_n X^n$ sont deux polynômes à coefficients dans $A$, alors le polynôme $PQ=\sum\limits_{n\in\N}c_n X^n$ est défini par : $\forall n\in\N\quad c_n=\sum\limits_{k=0}^n a_k b_{n-k}=\sum\limits_{p+q=n}a_p b_q$.
Le seul exemple qui me vienne à l'esprit est une preuve de la formule de Vandermonde : $\forall n\in\N\quad \binom{2n}{n}=\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}^2$.
Même si ce sont des applications très simples je suis preneur.
Pour rappel, si $A$ un anneau commutatif, $P=\sum\limits_{n\in\N}a_n X^n$ et $Q=\sum\limits_{n\in\N}b_n X^n$ sont deux polynômes à coefficients dans $A$, alors le polynôme $PQ=\sum\limits_{n\in\N}c_n X^n$ est défini par : $\forall n\in\N\quad c_n=\sum\limits_{k=0}^n a_k b_{n-k}=\sum\limits_{p+q=n}a_p b_q$.
Le seul exemple qui me vienne à l'esprit est une preuve de la formule de Vandermonde : $\forall n\in\N\quad \binom{2n}{n}=\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}^2$.
Même si ce sont des applications très simples je suis preneur.
Réponses
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Bonjour.
Je vois le produit de Cauchy, comme application directe qui se généralise assez bien.
À bientôt.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
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Ah oui en effet, et donc les corollaires de ce dernier.
Et en restant avec les sommes finies que sont les polynômes ? -
Le lemme des noyaux et toutes ses conséquences sur la réduction?
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La transformée de fourier discrète ? Dans Z ?
Dans la même veine, une grosse partie des codes correcteurs d'erreur -
Voici un exercice amusant de probabilité discrète. On considère un dé pipé dont la loi de la variable $X$ donnant le numéro obtenu après lancer est donnée par $P(X=i)=p_i$, $i=1,\ldots,6$, $p_1$, \ldots, $p_6\in [0,1]$, $p_1 +\cdots p_6 =1$. On considère un deuxième dé de variable associée $Y$ indépendante de $X$ et de même loi. Montrer qu'il n'est pas possible de choisir les $p_i$, $i=1,\ldots,6$, de sorte que la loi de $X+Y$ soit la loi uniforme.
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Je suis un peu perplexe face à la question : moi je demanderais " à quoi servent les polynômes, sinon à être multipliés ?" .
Enfin je sais pas, je vois pas trop l'intérêt des polynômes si on ne les multiplie pas... -
Bonsoir.
On peut aussi les additionner, les rendre canoniques, en modifier la structure des coefficients par substitutions, toutes des opérations qui ne demandent pas explicitement de les multiplier entre eux, cela dit ce n'est pas non plus interdit de le faire aussi.
À bientôt.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
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La substitution demande absolument la multiplication !
Quant à l'addition, pourquoi avoir des polynômes et pas juste des suites de scalaires ? Ce qui distingue vraiment les polynômes, c'est la multiplication -
J'aimerais voir un exemple de substitution qui demande une multiplication entre deux polynômes.
Sinon, la dérivation, la primitivation sont aussi des opérations où une multiplication explicite entre polynômes me semble difficile à trouver si on s'abstient de la factorisation.
Si c'est possible dans ces conditions, j'aimerais bien aussi un exemple, cela me serait utile.
Concernant les suites de scalaires, vous parlez de séries ? Je ne vois pas ce que cela vient faire en remplacement des polynômes.
À bientôt.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
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Beh si tu veux substituer $P$ dans $Q$ tu vas devoir calculer des $P^k$ - tu voulais peut-être dire "évaluation" ? auquel cas, le critère principal qui détermine l'évaluation (en $a$ disons), c'est qu'elle est multiplicative (en fait, c'est la même chose, la substitution est un cas particulier d'évaluation)
Pour les suites, je voulais dire que si tu n'as pas la structure multiplicative, le module des polynômes est juste $\bigoplus_\mathbb N A$, pas la peine de les appeler "polynômes", et le mot "polynôme" est intéressant vraiment quand on veut les multiplier. Enfin ça se voit rien que dans l'expression $\sum_k a_k X^k$ qu'on veut multiplier.
Mais bon bref, je ne suis pas là pour convaincre - j'ai exprimé ma perplexité, c'est tout -
Merci pour l'exemple de substitution, je n'avais pas pensé comme cela mais c'est très clair.
Sinon je ne parlais pas d'évaluation.
Encore merci et à bientôt.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
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Bonjour!
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