Produit de deux polynômes
Avez-vous des exemples """intéressants""" où la multiplication entre polynômes sert ?
Pour rappel, si $A$ un anneau commutatif, $P=\sum\limits_{n\in\N}a_n X^n$ et $Q=\sum\limits_{n\in\N}b_n X^n$ sont deux polynômes à coefficients dans $A$, alors le polynôme $PQ=\sum\limits_{n\in\N}c_n X^n$ est défini par : $\forall n\in\N\quad c_n=\sum\limits_{k=0}^n a_k b_{n-k}=\sum\limits_{p+q=n}a_p b_q$.
Le seul exemple qui me vienne à l'esprit est une preuve de la formule de Vandermonde : $\forall n\in\N\quad \binom{2n}{n}=\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}^2$.
Même si ce sont des applications très simples je suis preneur.
Pour rappel, si $A$ un anneau commutatif, $P=\sum\limits_{n\in\N}a_n X^n$ et $Q=\sum\limits_{n\in\N}b_n X^n$ sont deux polynômes à coefficients dans $A$, alors le polynôme $PQ=\sum\limits_{n\in\N}c_n X^n$ est défini par : $\forall n\in\N\quad c_n=\sum\limits_{k=0}^n a_k b_{n-k}=\sum\limits_{p+q=n}a_p b_q$.
Le seul exemple qui me vienne à l'esprit est une preuve de la formule de Vandermonde : $\forall n\in\N\quad \binom{2n}{n}=\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}^2$.
Même si ce sont des applications très simples je suis preneur.
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Réponses
Je vois le produit de Cauchy, comme application directe qui se généralise assez bien.
À bientôt.
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Et en restant avec les sommes finies que sont les polynômes ?
Dans la même veine, une grosse partie des codes correcteurs d'erreur
Enfin je sais pas, je vois pas trop l'intérêt des polynômes si on ne les multiplie pas...
On peut aussi les additionner, les rendre canoniques, en modifier la structure des coefficients par substitutions, toutes des opérations qui ne demandent pas explicitement de les multiplier entre eux, cela dit ce n'est pas non plus interdit de le faire aussi.
À bientôt.
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Quant à l'addition, pourquoi avoir des polynômes et pas juste des suites de scalaires ? Ce qui distingue vraiment les polynômes, c'est la multiplication
Sinon, la dérivation, la primitivation sont aussi des opérations où une multiplication explicite entre polynômes me semble difficile à trouver si on s'abstient de la factorisation.
Si c'est possible dans ces conditions, j'aimerais bien aussi un exemple, cela me serait utile.
Concernant les suites de scalaires, vous parlez de séries ? Je ne vois pas ce que cela vient faire en remplacement des polynômes.
À bientôt.
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Pour les suites, je voulais dire que si tu n'as pas la structure multiplicative, le module des polynômes est juste $\bigoplus_\mathbb N A$, pas la peine de les appeler "polynômes", et le mot "polynôme" est intéressant vraiment quand on veut les multiplier. Enfin ça se voit rien que dans l'expression $\sum_k a_k X^k$ qu'on veut multiplier.
Mais bon bref, je ne suis pas là pour convaincre - j'ai exprimé ma perplexité, c'est tout
Sinon je ne parlais pas d'évaluation.
Encore merci et à bientôt.
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