Nilpotence
Réponses
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C'est epouvantablement compliqué cette récurrence.
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Bof, pour une fois que Oshine recopie réalise correctement une démo du bouquin tout seul, on va pas s'en plaindre :-?
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Je veux bien laisser OShine finir sa récurrence, mais j'aimerais lui signaler (sans corrigé sous les yeux) qu'il y a nettement plus simple.
Si $u$ est nilpotent d'indice $p$, il existe un polynôme annulateur de $u$ facile à trouver. De là, on tire une information sur le polynôme minimal de $u$, ce qui donne les valeurs propres de $u$.
Si $u$ est de plus diagonalisable, vu qu'on connait ses valeurs propres, la matrice diagonale en question s'identifie immédiatement. -
Je pense avoir résolu l'exercice de Foys.
On introduit le sous-ensemble de $\N$ suivant $A=\{ i \in \N \ | \ u^i \ne z \}$.
- $u^0 =e \ne z$ donc $A$ est non vide.
- $u^k =z$ puis $u^{k+1} =u *z =z$ et pour tout $l \geq k$ on a $u^l =z$. Ainsi, $A$ est majoré par $k$.
- $A$ est une partie non vide et majorée de $\N$, elle admet un plus grand élément. Notons-le $q$. Ainsi, $u^{q} \ne z$ et donc $u^{q+1}=z$
Il suffit donc de poser $p=q+1$.
Pour la deuxième méthode, elle est suggérée dans mon livre, mais je ne comprends pas l'explication en rouge.
$u$ n'a que la valeur propre $0$ car il est annulé par un polynôme de la forme $X^r$.
Si l'on considère la matrice de $u$ dans une base quelconque, comme $\K$ est un sous-corps de $\C$, on en déduit $\chi_A =X^n$ donc $\chi_u = X^n$.
@Homo Topi
Je n'ai pas compris ta technique avec le polynôme minimal. -
Encore une recopie...
Ou alors il va nous dire qu'il a tellement lu la démo qu'il peut la réciter... -
C'est une démo du cours je suis censé l'inventer :-S
J'essaie de retenir les démonstrations pas trop compliquées. -
OShine : ma méthode est en fait super simple, mais il faut savoir un truc en particulier pour comprendre d'où je sors mes histoires de polynôme minimal.
Une définition "courante" du polynôme minimal de $u$ est que c'est le polynôme unitaire de plus petit degré qui annule $u$. Il existe une autre définition un peu plus théorique (il faudrait vérifier que les deux coïncident, passons). Cette autre définition requiert de savoir que l'ensemble des polynômes annulateurs de $u$ forme un idéal dans l'anneau des polynômes. Comme cet anneau est principal, ses idéaux sont engendrés par un élément, on appelle polynôme minimal de $u$ le générateur de cet idéal. Dit plus simplement, et c'est ça dont tu as besoin pour mon truc : le polynôme minimal de $u$ divise tout polynôme annulateur de $u$, en particulier son polynôme caractéristique. Donc les valeurs propres (par définition, les racines du polynôme caractéristique) sont aussi les racines du polynôme minimal.
Ici, pour un endomorphisme nilpotent, un polynôme annulateur particulier de $u$ est très facile à trouver. Or le polynôme minimal doit le diviser, ça ne laisse pas beaucoup de formes possibles pour ce polynôme minimal. Une fois que tu as la tronche du polynôme minimal, ses racines (qui sont les valeurs propres de $u$, donc) sont évidentes.
Donc :
1) Si $u$ est nilpotent d'indice $p$, donner un polynôme annulateur de $u$.
2) En déduire les racines du polynôme minimal de $u$. Ne pas oublier que ce sont les valeurs propres de $u$.
3) Si $u$ est de plus diagonalisable, conclure que les matrices de $u$ sont semblables à la matrice nulle. -
Bah disons que recopier à la variable près la démo je comprends pas l'intérêt. A part te ridiculiser une nouvelle fois et nous faire perdre notre temps (Et pire tu fais VRAIMENT perdre celui de Homo Topi).. Nous on la connait la démo, aie au moins l'honnêteté de dire "je ne connais pas la démo mais je l'ai lue dans mon cours"
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Bah, ça me fait réviser un peu, il n'y a pas de problème.
J'ai lu le fil majoritairement en diagonale, mais j'ai cru voir que le souci "numéro 1" dans ce que OShine racontait, c'était qu'il n'expliquait pas pourquoi sa matrice de $u$ est semblable à la matrice nulle. S'il se lance dans une récurrence compliquée (suffisamment pour faire criser les autres), pourquoi pas, si elle aboutit.
Mais on peut appliquer assez facilement l'adage anglais "work smarter, not harder" ici, alors autant l'inciter à le faire. Je pense que c'est important de se rappeler que le polynôme minimal est un outil (théorique, certes, mais) pratique dans certains cas, et ici on en a un. Les deux propriétés les plus importantes du polynôme minimal (il divise tous les annulateurs, ses racines sont les VP) interviennent ici, donc c'est un excellent exercice pour les découvrir (auquel cas il fait bon de les démontrer) ou s'en rappeler. -
@Noobey
Ca m'a fait réviser la démonstration et avec du recul elle n'est pas compliquée. Dès qu'on a l'idée de considérer un vecteur de $\ker(u)$ et de compléter en une base de $E$, le reste découle.
@Homo Topi
1) Si $u$ est nilpotent d'indice $r$ alors $X^r$ annule $u$.
2) $\pi_u$ divise $X^r$ alors il est sous la forme $X^k$ avec $k \leq r$.
3) Je n'ai pas compris pourquoi on considère $u$ diagonalisable alors qu'on veut trouver son polynôme caractéristique :-S
Dans mon livre :
Soit $u \in L(E)$. L'ensemble des polynômes $P$ tels que $P(u)=0$ est un idéal appelé idéal annulateur de $u$.
Si $I$ est un idéal de $\K[X]$ non réduit au polynôme nul alors il existe un unique polynôme unitaire $P$ appelé générateur unitaire de $I$ tel que $I= P \K[X]$.
Soit $E$ de dimension finie et $u \in L(E)$. Le générateur unitaire de l'idéal annulateur de $u$ est appelé polynôme minimal de $u$. On le note $\pi_u$. -
Peut-être y a-t-il quiproquo sur la question.
Tu répondais ici à une question ouverte de RLC sur la diagonalisabilité d'un endomorphisme nilpotent. Poirot relevait ici que dans ton raisonnement (où $u$ est à la fois nilpotent et diagonalisable), tu ne justifiais pas que la matrice $A$ de $u$ que tu considérais est semblable à la matrice nulle. Mon exercice en 3 questions te permet de faire ça.
Tu as quasiment tout écrit : le polynôme minimal est de la forme $X^k$, donc ses racines (les valeurs propres de $u$) sont ? Donc la matrice diagonale associée est ? Donc $u$ est ? -
"C'est une démonstration du cours, je suis censé l'inventer ?"
Eh bien oui...
Il y a franchement peu de démonstrations de cours niveau bac+2 qui reposent sur une idée du futur. En réduction il n'y a pour ainsi dire que Cayley-Hamilton.
Mais bon, puisque tu ne sais toujours pas faire une démonstration seul pourquoi te mouiller hein ? C'est bien plus commode de chercher une excuse...
Edit : tiens, et la trigonalisabilité, dans $\mathbb{R}$ évidemment ? -
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2307624,2308394#msg-2308394
Bien vu OShine. Y a-t-il lien entre cet exo inventé et celui du fil?Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Je bloque toujours sur le passage suivant :
$u$ n'a que la valeur propre $0$ car il est annulé par un polynôme de la forme $X^r$.
Si l'on considère la matrice de $u$ dans une base quelconque, comme $\K$ est un sous-corps de $\C$, on en déduit $\chi_A =X^n$ donc $\chi_u = X^n$.
Homo Topi je ne comprends pas pourquoi tu parles de polynôme minimal ici, est-ce nécessaire ? -
Est-ce que tu as lu tout ce que j'ai écrit ou non, j'ai tout expliqué. Si tu essayais de répondre à mes questions avant de remettre en question la légitimité de mon raisonnement ? Je sais que mon raisonnement n'est pas dans ton livre, mais quand même !
-
Soit $K$ un sous-corps de $\mathbb C$ et $A\in M_n(K)$.
On a $A\in M_n(\mathbb C)$ et ses valeurs propres complexes sont les racines de $\chi_A(X)$.
Mais ces valeurs propres sont aussi les racines du polynôme minimal de $A$.
Si ce dernier est de la forme $X^r$, $0$ est la seule valeur propre complexe de $A$ et, en particulier, $0$ est racine de $\chi_A$ de multiplicité $n$, i.e. $\chi_A(X)=X^n$. -
Gai Requin je n'ai pas compris ton raisonnement.
Idem que dans mon livre.
Homo Topi je ne comprends pas ta méthode avec lz polynôme minimal.
Bd2017
Ok merci je les ferai demain. -
"Je comprends pas."
"Relis, j'ai tout expliqué."
"Je comprends pas."
Pas foutu de réfléchir UNE minute.
Tiens, je te file un corrigé à recopier, tu m'as suffisamment gavé.
Si $u$ est nilpotent d'indice $p$, alors $X^p$ est annulateur de $u$. Comme le polynôme minimal doit diviser $X^p$, il est de la forme $X^k$ avec $k \leqslant p$. En particulier, la seule racine du polynôme minimal est $0$. Donc la seule valeur propre de $u$ est $0$ (puisque les racines du polynôme minimal sont les valeurs propres).
Si $u$ est de plus diagonalisable, alors il existe une matrice de $u$ qui est diagonale, et dont la diagonale ne comporte que des $0$ (puisque c'est la seule valeur propre). Donc cette matrice est nulle. Donc $u$ est l'endomorphisme nul.
Donc : $u$ nilpotent et diagonalisable $\Longrightarrow u=0$. -
@OS : Je me doutais bien que tu n'allais pas lire entre les lignes :-)
Si $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ sont les racines complexes de $\chi_A$, quelle est sa décomposition en facteurs irréductibles de $\mathbb C[X]$ ?
En déduire $\chi_A$ quand tous les $\alpha_i$ sont nuls. -
Je n'ai quasiment rien lu de ce fil mais j'ajoute une variante à la correction d'Homo Topi.
Alors comme lui j'arrive à la conclusion que la seule valeur propre de $u$ est $0$ puis si $u$ est diagonalisable alors il existe une base de vecteurs propres de valeur propre $0$, donc cette base est le noyau de $u$ donc $u$ est nul.
Allez OShine recopie-nous le corrigé pour voir si on a une variante n°3. B-)- -
Je rappelle que j'ai lancé le débat de la trigonalisabilité.
Ne pas connaître le résultat super important sur les racines du polynôme minimal alors que HT l'énoncé cash en ayant la gentillesse de faire un long message c'est du foutage de gu... du OShine. -
Homo Topi répond a une question a laquelle j'ai déjà répondu.
Moi je voulais démontrer que le spectre d'un endomorphisme nilpotent est réduit à 0.
Il ne répondait pas a la même question. -
En dimension finie, le spectre est l'ensemble des valeurs propres. Donc si, j'y ai répondu. Et au lieu de faire une récurrence longue, compliquée et chiante à lire, je l'ai fait en 2 lignes. Et sans corrigé.
-
Je viens de comprendre la subtilité du polynôme minimal.
Le cours dit que le spectre du $u$ est inclus dans l'ensemble des racines de tout polynôme annulateur.
Le résultat comme quoi le spectre de $u$ est égal à l'ensemble des racines du polynôme minimal est fait en exercice mais n'est pas donné en proposition dans le cours.
Si $sp(u) \subset \{0 \}$ il est possible que $sp(u)= \emptyset$. En effet $\emptyset \subset \{0 \}$.
@Gain Requin
Tu n'expliques pas pourquoi $0$ est racine de multiplicité $n$.
On a $\chi_A(X)=(X- \alpha_1) \cdots (X- \alpha_n)$ et s'ils sont tous nuls $\chi_A(X)= X^n$
A quoi ça sert le $\K$ est un sous-corps de $\C$ ?
Pourquoi le corrigé dit qu'on considère la matrice de $u$ dans n'importe quelle base et qu'on en déduit $\chi_u(X)=X^n$ ?
@RLC
Si $u$ est nilpotent alors son polynôme caractéristique est scindé car il vaut $X^n$. Ainsi, $u$ est trigonalisable d'après le cours. Or, les valeurs propres sont les éléments de la diagonale.
Donc $u$ est semblable à une matrice triangulaire stricte. -
$\chi_A$ étant de degré $n$, il a $n$ racines complexes comptées avec leur multiplicité.
Si sa seule racine est $0$, elle est donc de multiplicité $n$.
Pour le reste, on peut travailler sur n'importe quel corps commutatif $K$ et reprendre mon raisonnement en remplaçant $\mathbb C$ par le corps de décomposition (appelé aussi corps des racines) de $\chi_A$ sur $K$. -
Tes questions soulèvent quelque chose d'intéressant.
Si $u$ est un endomorphisme en dimension finie, on n'a pas montré qu'il admet effectivement toujours des valeurs propres. Pour ça, je peux te donner deux réponses : de 1, le polynôme caractéristique d'un endomorphisme est toujours défini et annulateur, donc les valeurs propres existent bel et bien. De 2, on peut montrer que tout endomorphisme en dimension finie admet un polynôme annulateur, et donc le polynôme minimal (eh oui, encore lui, décidément il sert quand même) existe puisque l'idéal des polynômes annulateurs est non vide. Après, il suffit de (re)montrer que les racines du polynôme minimal sont les valeurs propres.
Bon, par contre, il y a un autre problème. Si je prends un endomorphisme de $\R^n$, il se peut très bien qu'aucune de ses valeurs propres soit réelle. A tout hasard, un endomorphisme de $\R^2$ dont le polynôme caractéristique est $X^2+1$, par exemple celui dont la matrice dans la base canonique est $\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Pour contourner ça, soit on espère que les étudiants ne vont rien remarquer, soit on définit le spectre comme l'ensemble des $\lambda$ complexes tels que $f -\lambda \text{id}$ n'est pas injective. Puisqu'on fait toujours le cours de réduction dans $\R$ ou $\C$, ça suffit jusqu'à l'agreg.
Cela dit, on peut très bien faire de l'algèbre linéaire dans un corps qui n'est pas un sous-corps de $\C$, ni même de caractéristique nulle, auquel cas il faudrait repréciser dans quel ensemble se balade le "spectre" d'un endomorphisme. Je ne sais pas trop ce qui se fait : dirait-on que le "spectre réel" de mon endomorphisme de $\R^2$ ci-dessus est vide ? EDIT : si l'on veut toujours se placer dans un corps algébriquement clos, il faut quand même que la définition dépende du corps de base.
En attendant, on peut être pragmatique : effectivement, $\varnothing \subseteq \{0\}$ donc ton spectre pourrait a priori être vide, mais vérifier que $0$ est une valeur spectrale d'un endomorphisme nilpotent, ça se fait en une ligne aussi (EDIT : devine grâce à quel polynôme).
EDIT : correction d'un brainfart. -
@Gai Requin
Dans le cadre du cours de MP, on a $K= \R$ ou $K=\C$ uniquement. Je n'ai jamais étudié le corps de décomposition.
Je n'ai pas compris dans ton raisonnement c'est à quel endroit que tu utilises que $\K$ est un sous-corps de $\C$.
@Homo Topi
Oui on peut calculer le spectre dans $\R$ ou dans $\C$. Il y a des endomorphismes diagonalisables dans $\C$ et pas dans $\R$.
Je ne comprends pas ce passage encadré du livre. -
Mais c'est ça que j'expliquais, bordel !
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Je n'ai pas l'impression que c'est la même chose.
Si l'on considère la matrice de $u$ dans un base quelconque, comme $\K$ est un sous-corps de $\C$, on en déduit $\chi_A =X^n$
Je ne comprends rien à ce passage. -
Je t'explique le passage en rouge, mais honnêtement au vu de tout ce qui a été dit dans ce fil, tu aurais dû comprendre ça par toi-même.
$X^r$ annule $u$, donc le polynôme minimal (qui doit diviser $X^r$ par définition du polynôme minimal) doit aussi être de la forme $X^k$ (avec $k \leqslant r$), donc la seule racine du polynôme minimal est $0$. En particulier, $0$ est donc la seule valeur propre de $u$. Donc $0$ est aussi la seule racine du polynôme caractéristique, qui, lui, est de degré $n$. Donc on sait que le polynôme caractéristique de $u$ est $X^n$.
Au passage, il fait bon de savoir que le polynôme caractéristique est un "invariant de similitude", ça veut dire que toutes les matrices de $u$ ont le même polynôme caractéristique. Normalement, on définit le polynôme caractéristique d'une matrice en premier (est-ce que c'est ça que fait ton bouquin ?), donc il est normal de vérifier si deux matrices représentant un même endomorphisme ont le même : c'est bien parce que c'est vrai qu'on peut parler "du" polynôme caractéristique d'un endomorphisme.
Je pense que la remarque "$\K$ est un sous-corps de $\C$" est faite par rapport aux racines du polynôme caractéristique : contrairement à mon exemple de tout à l'heure avec une matrice à coefficients réels dont aucune valeur propre n'est réelle, ici la seule valeur propre est $0$, donc le polynôme caractéristique est déjà scindé dans $\K$. Mais personnellement, je ne comprends pas trop l'utilité de cette remarque... -
Tu te surpasses ici OS !
C'est du vaudeville à ce niveau. -
@Homo Topi
D'accord merci. Voici la première définition :
Soit $A \in M_n(\K)$. On appelle polynôme caractéristique de $A$ et on note $\chi_A(X)$ l'unique polynôme tel que $\forall \lambda \in \C \ \ \chi_{\lambda} (\lambda)=\det(\lambda I_n -A)$
Par abus de langage, on note $\chi_A(X)=\det(XI_n-A)$
Il s'agit d'un léger abus. En effet, on a défini uniquement le déterminant d'une matrice à coefficient dans le corps des complexes. Pour pouvoir parler du polynôme $\det(XI_n-A)$, il faudrait avoir défini le déterminant d'une matrice à coefficients dans le corps des fractions rationnelles (ce qui ne pose pas plus de difficultés).
Le fait que deux matrices semblables aient le même polynôme caractéristique justifie la définition suivante.
On appelle polynôme caractéristique de l'endomorphisme $u$ et l'on note $\chi_u$ le polynôme caractéristique de toute matrice représentant $u$.
On a donc pour tout scalaire $\lambda$, $\chi_u(\lambda)=\det(\lambda Id_E-u)$ -
Et ça sert à quoi de recopier des définitions ? Tout le monde ici a un cours de réduction sur son étagère.
Je suis resté sur le fait que tout à l'heure, tu me disais avoir compris le truc du polynôme minimal, et après tu as encadré en rouge un truc que tu ne comprenais pas alors que je l'avais déjà expliqué. Donc tu n'avais pas compris.
Et j'aime bien ce truc que tu as recopié (issu de ton bouquin ?) : on ne démontre pas que deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique (c'est ça la "partie difficile") et on affirme juste que c'est le cas pour pouvoir balancer la définition qui nous arrange. -
OShine, il faut changer ta façon de travailler, c'est plus que contre productif là ...
Tes élèves aussi passent leur journée à recopier des corrections d'exercices olympiades sans jamais faire de maths à leur niveau ? -
Zgrb cet exercice n'est pas de niveau olympiades.
Homo Topi c'est le sous-corps que je ne comprends pas. -
J'ai recopié les définitions pour te montrer la logique du cours que j'ai étudié.
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On te dit juste que tu as le droit de regarder les valeurs propres complexes, qui existent, et qu'elles ne peuvent qu'être égales à $0$. C'est quand même fou les blocages que tu fais sur la moindre expression que tu trouves dans ton livre. La conclusion est toujours la même : arrête de lire les corrections qui ont tendance à être expéditives et fais tes exercices seul comme un grand.
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@OS : Tu ferais mieux d'étudier d'abord $\mathbb R[X]$ et $\mathbb C[X]$ avant de t'embarquer dans l'algèbre linéaire sur les sous-corps de $\mathbb C$ !
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J'ai déjà étudié $\R [X]$ et $\C[X]$ dans le cours de MPSI sur les polynômes, cours qui fait 40 pages, j'y ai passé beaucoup de temps.
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Il y a un théorème important en algèbre, que tu devrais connaitre, qui donne une place particulière à $\C$ quand on fait de l'algèbre.
Ici, l'idée c'est que comme tu travailles dans un sous-corps de $\C$, tu peux "élargir" le contexte de l'exercice et faire comme si tu travailles dans $\C$. L'intérêt de faire ça réside dans le fameux théorème dont je viens de parler. Tu sais à quoi je fais allusion ? -
Le théorème de d'Alembert Gauss, sauf qu'ici on ne l'utilise pas donc je ne vois pas l'intérêt de travailler dans $\C$.
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Mais je pense que Gai Requin a donné la réponse par rapport au sous-corps.
Comme on travaille dans $M_n(\C)$, $\chi_A(X)$ est scindé donc il s'écrit sous la forme $(X-\alpha_1) \cdots (X-\alpha_n)$. Mais $0$ est la seule racine de $\chi_A$ alors tous les $\alpha_i$ sont nuls d'où le résultat. -
C'est vrai qu'il n'y a aucun rapport entre le théorème de d'Alembert-Gauss et le fait que $\chi_A$ admette une factorisation de cette forme... 8-)
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Une recopie de la preuve de la factorisation dans C[X] devrait prochainement arriver...
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