Nilpotence

Comment sais-tu que l'ensemble n'est pas majoré ?

Bd2017 l'indication suggère une autre méthode pour Q2 qui utilise les familles libres.

J'aimerais savoir comment faire avec l'ensemble $A$ que j'ai considéré. Yves considère un autre ensemble.

Mais j'aimerais démontrer que $A$ est majoré mais je n'y arrive pas.

@Nicolas
J'aimerais résoudre la question avec l'ensemble $A$ plus haut.

Je ne vois pas pourquoi parler de complémentaire ici.

Merci Poirot, j'ai oublié l'hypothèse fondamentale que $u$ est linéaire.

Si $u^k =0$ alors $u^{k+1}=u(0)=0$ car $u$ est un endomorphisme.

Pour tout $l \geq k$ on a $u^l=0$. Donc si $i \in A$, alors $i \leq k$.

$A$ est une partie non vide et majorée de $\N$, elle admet un plus grand élément, notons-le $q$.

Ainsi, $u^{q} \ne 0$ et $u^{q+1}=0$

Il suffit alors de poser $\boxed{p=q+1}$.

Question $2$ :

Puisque $u^{p-1} \ne 0$, il existe $x_0 \in E$ tel que $u^{p-1} (x_0) \ne 0$.

Montrons que la famille $(x_0, u(x_0), \cdots, u^{p-1} (x_0) )$ est une famille libre.

Soient $(\lambda_0, \cdots, \lambda_{p-1}) \in \C^p$ tel que $\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1} \lambda_i u^i (x_0)=0$. On applique $u^{p-1}$ et on obtient $\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1} \lambda_i u^{i+p-1} (x_0)=0$

Si $i \geq 1$ alors $i+p-1 \geq p$ et donc $u^{i+p-1} (x_0)=0$. On en déduit $\lambda_0 u^{p-1} (x_0)=0$ mais $ u^{p-1} (x_0) \ne 0$ donc $\lambda_0 =0$

Par conséquent, $\displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} \lambda_i u^i (x_0)=0$ On applique $u^{p-2}$ et on obtient $\displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} \lambda_i u^{i+p-2} (x_0)=0$

Si $i \geq 2$ alors $i+p-2 \geq p$ et donc $u^{i+p-2} (x_0)=0$. On en déduit $\lambda_1 u^{p-1} (x_0)=0$ mais $ u^{p-1} (x_0) \ne 0$ donc $\lambda_1 =0$

En répétant le raisonnement, on trouve $\boxed{\lambda_0 = \lambda_1 = \cdots = \lambda_{p-1}=0}$

$(x_0, u(x_0), \cdots, u^{p-1} (x_0) )$ est une famille libre. Or son cardinal est inférieur ou égal à la dimension de $E$ qui est $n$. Elle est de cardinal $p$. Finalement, on a montré $\boxed{p \leq n}$

@JLapin
$u(0)=0$ c'est le vecteur nul de $E$. On le note $0_E$

Par exemple si $E$ est l'espace des fonctions continues, $0$ est la fonction nulle.

@RLC
Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme nilpotent est $\chi(X)=X^n$.

D'après Cayley-Hamilton, le polynôme caractéristique $X^n$ de $u$ est annulateur donc $u^n=0$. On a aussi $u^p=0$.

Donc $p \leq n$ car l'indice de nilpotence est le plus petit entier vérifiant cette égalité.

Je rectifie.

On a $u^{k}=0_{L(E)}$ donc $ \forall x \in E \ \ u^{k+1}(x)=u^k (u(x) )= 0_{L(E)} ( u(x)) =0_{E}$

Donc $u^{k+1} =0_{L(E)}$

@Foys
Il suffit de prendre $k=p-1$.

Si $u^{p-1}=z$ alors $u^p= u *z =z$

@RLC
Je réponds à ta question sur la diagonalisation d'un endomorphisme nilpotent.

Soit $u$ un endomorphisme de $E$ nilpotent. Alors il existe $k \in \N^{*}$ tel que $u^k=0$.

Soit $A$ la matrice canoniquement associée à $u$. Si $u$ est diagonalisable, alors $A$ est semblable à la matrice nulle, donc $A=0$ donc $u=0$.
Réciproquement, la matrice nulle est diagonalisable est nilpotente.

Par contre je ne sais pas le démontrer en utilisant les endomorphismes et les sous-espaces propres.

D'accord merci.

On choisit plutôt $p=k+1$ car $k$ est déjà fixé.

@Poirot

Soit $u \in \mathcal L(E)$ d'indice de nilpotence $r$. Montrons par récurrence sur $n$ que son polynôme caractéristique est $X^n$.

Si $n=1$, alors comme $r \leq n=1$ on en déduit $r=1$. Donc $u=0$. Ainsi, $\ker(u) \ne \{0 \}$ et même $\ker(u)= E$.

Donc $\boxed{\chi_u (X)=X}$

Supposons le résultat vrai pour des espaces vectoriels de dimension strictement inférieure à celle de $E$. Comme $u$ n'est pas injectif, alors il existe un vecteur $x$ non nul tel que $x \in \ker(u)$.

On complète $x$ en une base $\mathcal B$ de $E$, de sorte que $Mat_{B} (u)=\begin{pmatrix} 0 & L \\ 0 & A \end{pmatrix} $ où $L \in \mathcal M_{1,n-1} (\K)$ et $A \in \mathcal M_{n-1}(\K)$.

On a ainsi $Mat_{B} (u^r)=\begin{pmatrix} 0 & L' \\ 0 & A^r \end{pmatrix} $

On en déduit que $A^r =0$. Donc l'endomorphisme canoniquement associé à $A$ est nilpotent et $\chi_A(X)=X^{n-1}$

Mais $\chi_u(X)= X \times \chi_A (X)$ donc $\boxed{\chi_u(X)=X^n}$

On peut aussi remarquer que le polynôme $Q(X)=X^r$ annule $u$. Ainsi, le spectre de $u$ est inclus dans $\{0 \}$

Mais pour cette seconde méthode, je ne vois pas comment en déduire que $\chi_u(X)=X^n$ :-S