Questions sur le produit tensoriel
Bonjour,
J'initie ce fil pour mes questions sur le produit tensoriel qui je pense vont être nombreuses. Je sais qu'il y a de nombreux fils sur le sujet et j'en ai lu certains qui sont d'ailleurs très intéressants. Toutefois, j'aimerais évoluer à partir de ce que je suppose connu et « à ma façon ».
Pour l'instant, je me concentre uniquement sur le produit tensoriel $E\underset{\K}{\otimes}F$ au-dessus de deux $\K$-espaces vectoriels $E$ et $F$.
La définition que je prends est celle du quotient construit de façon à ce que la propriété universelle voulue marche. Plus précisément, $E\underset{\K}{\otimes}F:=\left(\K^{(E\times F)}\right)/H$ avec :
Pour tout $(x,y)\in E\times F$, on note $x\otimes y:=\overline{\varphi(x,y)}$ la classe de $\varphi(x,y)$ modulo $H$.
Si on note $b:=[(x,y)\mapsto x\otimes y]\in\mathrm{Bil}(E\times F,E\underset{\K}{\otimes}F)$, on vérifie alors que le couple $(E\underset{\K}{\otimes}F,b)$ satisfait à la propriété universelle que vous connaissez.
Maintenant ma première question :
1) Avez-vous un exemple simple d'élément de $E\underset{\K}\otimes F$ qui ne soit pas un tenseur pur, i.e. de la forme $x\otimes y$ avec $(x,y)\in E\times F$ ?
Je sais que $E\underset{\K}\otimes F$ est engendré par les tenseurs purs, donc tout élément de $E\underset{\K}\otimes F$ est combinaison linéaire de tenseurs purs. Mais j'aimerais un exemple explicite de telle combinaison qui ne soit pas égale à un tenseur pur.
J'initie ce fil pour mes questions sur le produit tensoriel qui je pense vont être nombreuses. Je sais qu'il y a de nombreux fils sur le sujet et j'en ai lu certains qui sont d'ailleurs très intéressants. Toutefois, j'aimerais évoluer à partir de ce que je suppose connu et « à ma façon ».
Pour l'instant, je me concentre uniquement sur le produit tensoriel $E\underset{\K}{\otimes}F$ au-dessus de deux $\K$-espaces vectoriels $E$ et $F$.
La définition que je prends est celle du quotient construit de façon à ce que la propriété universelle voulue marche. Plus précisément, $E\underset{\K}{\otimes}F:=\left(\K^{(E\times F)}\right)/H$ avec :
- $\K^{(E\times F)}$ le $\K$-linéarisé de $E\times F$.
- $\varphi:E\times F\rightarrow \K^{(E\times F)}$ l'injection canonique associée i.e. pour tout $a\in E\times F$, $\varphi(a):=(\delta_{a,b})_{b\in E\times F}$.
- $\mathcal G:=\{\varphi(\lambda x+\lambda'x',y)-\lambda\varphi(x,y)-\lambda'\varphi(x',y)\mid (\lambda,\lambda',x,x',y)\in\K^2\times E^2\times F\}$.
- $\mathcal =\{\varphi(x,\lambda y+\lambda' y')-\lambda\varphi(x,y)-\lambda'\varphi(x,y')\mid (\lambda,\lambda',x,y,y')\in\K^2\times E\times F^2\}$.
- $H:=\mathrm{Vect}(\mathcal G\cup\mathcal D)$.
Pour tout $(x,y)\in E\times F$, on note $x\otimes y:=\overline{\varphi(x,y)}$ la classe de $\varphi(x,y)$ modulo $H$.
Si on note $b:=[(x,y)\mapsto x\otimes y]\in\mathrm{Bil}(E\times F,E\underset{\K}{\otimes}F)$, on vérifie alors que le couple $(E\underset{\K}{\otimes}F,b)$ satisfait à la propriété universelle que vous connaissez.
Maintenant ma première question :
1) Avez-vous un exemple simple d'élément de $E\underset{\K}\otimes F$ qui ne soit pas un tenseur pur, i.e. de la forme $x\otimes y$ avec $(x,y)\in E\times F$ ?
Je sais que $E\underset{\K}\otimes F$ est engendré par les tenseurs purs, donc tout élément de $E\underset{\K}\otimes F$ est combinaison linéaire de tenseurs purs. Mais j'aimerais un exemple explicite de telle combinaison qui ne soit pas égale à un tenseur pur.
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Réponses
Si je ne dis pas de bêtises, dans $\mathbb{R}^n$, le produit scalaire ou le déterminant, par exemple, sont des applications multilinéaires sans être le produit de formes linéaires.
Cordialement,
Rescassol
Voici un exemple qui précise ce qui a déjà été dit.
Le produit tensoriel (sur C) de l'anneau des polynômes C[X] par l'anneau des polynômes C[Y] est l'anneau des polynômes à deux variables C[X, Y]. Le produit tensoriel de P(X) par Q(Y) étant simplement le produit P(X)Q(Y).
De là beaucoup d'exemples de tenseurs non décomposables. Dit autrement, il y a dans C2 d'autres courbes algébriques f(X,Y) = 0 que des réunions de droites verticales et horizontales...
Cordialement.