Exercice sur les groupes dans le Jacobson

Je n'ai pas de réponse pour le moment, j'y ai réfléchi un peu et mes quantificateurs sont toujours dans le sens qui ne me sert pas. Je suis intéressé par le fil quand même.

Soit $(G,\cdot)$ associatif non vide et tel que $x\mapsto xa$ et $x \mapsto ax$ sont surjectives pour tout $a\in G$.
Soit $u\in G$. Il existe $g\in G$ tel que $gu=u$. Donc pour tout $x\in G$, $gux=ux$ (par associativité de $\cdot$). Donc $gy=y$ pour tout $y\in G$ car $x\mapsto ux$ est surjective.
De même soit $d\in G$ tel que $ud=u$. Alors $xud=xu$ et donc $zg=z$ pour tout $z\in G$ par surjectivité de $z\mapsto zu$.
Autrement dit $G$ possède un neutre à gauche $g$ et un neutre à droite $d$ qui sont les mêmes car $g=gd=d$, autrement dit un neutre pour $\cdot$.

Le fait que tout élément est inversible provient alors immédiatement de la surjectivité des multiplications à gauche et à droite (l'argument est classique, redonnons-le quand même: soit $e$ le neutre du groupe et $x\in G$; il existe $y$ et $z$ tels que $yx=xz=e$. Alors $y =ye = yxz = ez = z$ qui est alors un inverse pour $x$).

Dans le même ordre d'idées, j'avais vu une fois :
Un demi-groupe (magma associatif) non vide est un groupe ssi l'équation $axb = c$ possède (au moins) une solution :

Soit $a$ un élément et $f$ tel que $afa = a$.
Alors $e = af$ est le neutre :
Soit $x$ un élément quelconque et $u$ tel que $eue = x$.
On a $xe = euee = eue = x$
et $ex = eeue = eue = x$.

Les équations $ex'x = e$ et $xx''e = e$ fournissent un symétrique à gauche et un à droite de $x$, donc le symétrique de $x$.