Sous-espace dimension finie de $C^0([0,1])$
Bonsoir
J'essaie de prouver que si $E$ est un sous-espace de dimension finie $p$ de $\mathcal{C}^0([0,1])$, alors il existe $p$ réels de $[0,1]$, $x_1,\dots,x_p$ tels que pour tout $f\in E$, si $f(x_1)=\cdots=f(x_p)$$=0$ alors $f=0$.
Quelqu'un aurait-il une piste, avec des arguments de niveau fin de sup ?
[Correction en couleur]
J'essaie de prouver que si $E$ est un sous-espace de dimension finie $p$ de $\mathcal{C}^0([0,1])$, alors il existe $p$ réels de $[0,1]$, $x_1,\dots,x_p$ tels que pour tout $f\in E$, si $f(x_1)=\cdots=f(x_p)$$=0$ alors $f=0$.
Quelqu'un aurait-il une piste, avec des arguments de niveau fin de sup ?
[Correction en couleur]
Réponses
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Pour $p=1$ ça a l'air incohérent.Après je bloque.
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Bonjour
J'ai mal lu. Tu veux dire $f(x_1)=f(x_2)=...$=0 ? -
Pour $p=1$, on choisit une fonction $f$ non nulle de $E$ et $x\in [0,1]$ tel que $f(x) \neq 0$.
Sinon on suppose que la proposition et fausse et on prend un $p\geqslant2$ minimal pour lequel la proposition et fausse.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Pour $p=1$, si on prend une base $(f_1)$ de $E$, $f_1$ est non nul donc ne s'annule pas en un point $x_1$ et pour tout $f\in E$, $f=af_1$ avec $a\in\R$. Et alors si $f(x_1)=0$, $a=0$ et donc $f=0$...
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J'ai l'impression que telle que formulée actuellement, la condition pour $p=1$ est vide, donc toujours vraie, et que la proposition à montrer implique que l'espace, supposé de dimension $1$, est l'espace nul, ce qui est absurde.Après je bloque.
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Merci e.v. je n'avais pas vu ton message pendant que j'écrivais le mien ;-)
Par contre j'ai du mal à comprendre la deuxième partie de ton message, mais je vais le relire calmement... -
Oh oui j'ai oublié le $=0$ !!!
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Je viens de corriger mon erreur....
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Je pense par récurrence, en partant du cas $p=1$, qui est vrai maintenant.Après je bloque.
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Je l'ai (enfin il me semble) !!
On suppose la propriété vraie pour p et on prend E de dimension p+1.
On prend une fonction f non nulle et x dans [0,1] tel que f(x) non nul.
L'évaluation en x est une forme linéaire non nulle (car non nulle en f) et son noyau K est de dimension p. Il y a donc par hypothèse de récurrence p points de [0,1] tels que si f est dans K et s'annule sur ces p points, alors elle est nulle.
Finalement si f s'annule sur ces p points et sur x, elle est dans K (puisque nulle en x) donc nulle...
Par contre aucun argument de continuité finalement... -
lauber écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2302842,2302842#msg-2302842
Considère $(f_1,\ldots,f_p)$ une base de $E$.
C'est une famille libre de fonctions à valeurs réelles et un résultat classique dit qu'il existe $x_1,\ldots,x_p$ des réels tels que la matrice de coefficients $f_i(x_j)$ soit inversible.
Tu devrais pouvoir vérifier que ces réels conviennent. -
Je ne connaissais pas ce résultat... Effectivement avec ça marche bien.
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Merci à tous pour votre aide !
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Rebonjour
J'ai 2 remarques à faire
1. D'abord pour @Lauber.
Je ne suis pas certain que ta démonstration soit correcte. En effet avec ta récurrence
je ne vois pas pourquoi les p points en question sont différents de x. D'où un problème. Peut-on corriger l'erreur (sinon au départ l'idée est intéressante)
2. Concernant le message de Lapin. Ce qu'il dit est vrai mais est-ce un résultat bien connu?
En fait en faisant cet exercice, j'en suis venu à démontrer ce résultat.
Je pense qu'en fait l'exercice revient à démontrer ce résultat. Il n'y a rien de bien compliqué mais il faut faire la démonstration.
Perso, j'ai fait une démo par récurrence que je n'ai pas trop le temps de la donner ce soir (vu l'heure tardive) . Eventuellement si nécessaire demain peut être. -
Oui, une preuve par récurrence fonctionne.
Sinon, par l'absurde, si la famille de vecteurs de $\R^n$ $\bigl((f_1(x),\ldots,f_p(x))\bigr)_{x\in \R}$ n'est pas génératrice de $\R^p$, le sev qu'elle engendre est inclus dans un hyperplan qui possède une équation cartésienne dans la base canonique de $\R^p$ ce qui permet d'obtenir une contradiction avec la liberté de $(f_1,\ldots,f_p)$.
On conclut avec le théorème de la base extraite. -
Je dirais que l'énoncé ne demande pas que les points soient distincts. C'est une propriété qui se prouve a postériori.
Mais si on rajoute le mot distincts à l'énoncé, alors les p points de ma démo sont différents de x. Je pense avoir la preuve mais je l'ecrirai demain car effectivement l'heure devient tardive...
Merci JLapin pour la preuve directe !
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