Polynômes de Hermite par Gram-Schmidt

fifi21 · September 2021

Bonjour
J'essaie d'obtenir les premiers polynômes de Hermite en appliquant le procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt à la famille $(X^n)$ et considérant le produit scalaire
$<P,Q>=\int_{\mathbb{R}}P(x)Q(x)\exp(-x^2)dx$.
J'ai donc $P_0=1$ et $P_k=\dfrac{Q_k}{\Vert Q_k \Vert},$ où $Q_k=X^k-\sum_{i=0}^{n-1}<X^k,P_i>P_i$.
Sauf que j'obtiens $Q_1=X$ et $\Vert Q_1 \Vert ^2= \sqrt{2 \pi}$, alors que je devrais trouver $P_1=X$, ce qui ne correspond pas à $\frac{Q_1}{\Vert Q_1 \Vert}$. Ensuite, forcément c'est l'effet domino et le calcul de $P_2$ ne donne pas le bon résultat non plus.

Je n'arrive pas à voir mon erreur, ça doit sans doute être très bête. Si quelqu'un pouvait m'aider ...
Merci par avance et bonne journée.

bd2017 · September 2021

Bonjour
Ce n'est pas clair ce que tu veux obtenir. Est-ce que tu veux normaliser ou pas ?

Déjà $P_0$ n'est pas de norme 1 ...

fifi21 · September 2021

Je veux utiliser les polynômes orthogonaux en fait avec une fonction poids.
Et il est dit qu’on peut trouver la faille de polynômes orthogonaux associés à une fonction poids en appliquant orthogonalisation de Schmidt à la base canonique de R[X].
Un exemple est donné avec les polynômes de Hermite
Mais le problème vient peut être du fait que l’on ne veut pas que les polynômes soient unitaires

Chaurien · September 2021

Les familles de polynômes orthogonaux classiques sont des familles orthogonales, mais pas nécessairement orthonormales (sauf pour Laguerre). Chacune d'elles se déduit en droit de la base canonique par le procédé d'orthonormalisation de Schmidt, avec multiplication par un coefficient scalaire. Mais en pratique, il n'est généralement pas commode de déterminer la famille orthogonale en question par ce procédé. Et de plus pour Hermite, il y a deux versions, selon que le poids est $e^{-x^2}$ ou $e^{-\frac {x^2}2}$.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Chaurien · September 2021

Pour les polynômes de Hermite, l'exposé classique consiste à les définir comme : $H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-x^{2}}$
(resp. $H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{\frac {x^2}2}\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-\frac {x^2}2}$), et ensuite à vérifier qu'il s'agit d'une famille de polynômes, orthogonale pour le poids $e^{-x^{2}}$ (resp. $e^{-\frac {x^2}2}$), et telle que $ \textrm {deg}~H_n=n$. Il en résulte que la famille orthonormale $\frac{H_{n}}{\left\Vert H_{n}\right\Vert }$ se déduit de la base canonique par le procédé de Schmidt, mais je ne pense pas qu'on puisse trouver l'expression de $H_n$ directement par ce procédé.

bd2017 · September 2021

Bonjour
@fifi21 je pense que tu ne cherches que les premiers polynômes orthogonaux mais pas une expression de tous les polynômes.

Si on regardes ta formule

fifi21 a écrit:

$Q_k=X^k-\sum_{i=0}^{n-1}<X^k,P_i>P_i$

déjà on constate qu'elle est fausse mais surement tu as voulu écrire

$Q_n=X^n-\sum_{i=0}^{n-1}<X^n,P_i>P_i$

Donc si tu as ortho-normalisé $P_0,P_1,...,P_{n-1}$
il est facile de voir que $Q_n$ est unitaire, de degré n et que $<Q_i,P_j>=0, j=0,...,n-1$ (puisque $<P_j,P_j>=\delta_{ij}, i,j=0,...,n-1$ )

Ensuite tu pose $P_k=Q_k/||Q_k||$

En tout cas il me semble que c'est ce que tu veux faire. (i.e ortho-normaliser)

Mais cela ne correspond pas à ce que tu fais:

D'abord si $P_0=1, $ alors $<P_0,P_0>=\sqrt{\pi }\neq 1$ et ce n'est pas cohérent
de dire tu dois avoir $P_0=X$ (car $<X,X>=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$ )

C'est pourquoi tu dois repréciser ce que tu veux calculer exactement.