Unités et idempotents dans le centre

Je n'y ai pas beaucoup réfléchi mais déjà une remarque :
Soit $e$ un idempotent. Alors $2e-1$ est inversible puisque $(2e-1)^2 = 4e^2 - 4e +1 = 1$.

En particulier, il est central, de sorte que $2e$ est central. Pas sûr pour $e$ lui-même

Soit $x$ un nilpotent. Alors $x$ est central car $1+x$ est inversible.

Soit $e$ un idempotent et $a\in A$. Alors $ea(1-e)$ est nilpotent, donc il est central.

En particulier, $ea(1-e) = eea(1-e) =ea(1-e)e = 0$. Donc $ea = eae$.
De même $ae = eae$ et donc $ea = ae$.

(Depuis le début je cherchais un nilpotenr qui ne dépende que de $e$ !)

Je peux répondre pour lui : son carré vaut évidemment $0$.

Le raisonnement de Maxtimax est naturel si on réfléchit sur des matrices par blocs (c'est souvent une bonne idée dans ce genre de situation).

parce que $(1-e)e = e -e^2 = e-e = 0$

ça, non. Le point est qu'il est facile de trouver des anneaux qui ont peu ou pas d'idempotents mais des unités non centrales, alors que comme on vient de le voir, avoir des idempotents force à avoir des nilpotents et donc des unités.

Prenons par exemple $A= \mathbb F_p[G]$, où $G$ est un $p$-groupe non commutatif. Alors clairement $A$ a beaucoup d'unité non centrales (tous les éléments de $G$ sont des unités, mais sont centraux si et seulement s'ils le sont dans $G$), mais il n'a pas d'idempotent non trivial (si besoin de détails j'expliquerai, mais sans y réfléchir je ne connais pas de preuve élémentaire)

EDIT : je suis bête, je viens de voir le message d'aurelpage - je n'avais même pas pensé aux algèbres à division :-D

De rien !

Maxtimax, ta remarque sur $A = \mathbb{F}_p[G]$ où $G$ est un $p$-groupe est intéressante. Est-ce que tu peux détailler ? Est-ce que c'est parce que $A$ est un anneau local ou quelque chose comme ça ?

Aurel

Bonjour,

Est-ce que si $A$ est un anneau avec unité, dont tous les inversibles sont dans le centre, alors $A$ est commutatif ?

Merci d'avance.

Merci Math Coss.