Intersection dans un groupe

Une remarque: pour tout $\alpha <1/2$, $E(\alpha, \beta)$ est faux. En effet, soit $G=\Z/ 2 \Z$, alors il n'existe pas de partie $P$ de cardinal $<\alpha |G|$, à part la partie vide. Mais alors si $H=G$, $H$ est non réduit à l'élément neutre, et $P\cap H=\emptyset$.

Mais, ça ne prouve pas que la borne inférieure des $\alpha \beta$ est nulle.

Peut-être est-il plus naturel de chercher la borne inférieure de l'ensemble $\{\alpha+\beta ~|~E(\alpha,\beta)\}$, plutôt que le produit $\alpha \beta$.

Merci Poirot, je n'y avais pas pensé.

$E(1/2,1/2,6)$ est vrai.
En effet, soit $G$ un groupe de cardinal $\geq 6$.

Supposons $G$ de cardinal pair. Alors, on choisit dans $G$ trois éléments distincts deux à deux et différents de l'élément neutre $x,y$ et $xy$. Ce qui est possible si le cardinal de $G$ est $\geq 4$. On construit une partie $P$ contenant $xy$, mais ni $x$, ni $y$, ni $e_G$, telle que le cardinal de $P$ soit $|G|/2$, ce qui est possible si $|G|\geq 6$.
Soit $H$ un sous-groupe de $G$ de cardinal $\geq |G|/2$, alors, si $P\cap H=\emptyset$, alors $H=G \setminus P$, donc $x,y \in H$ et donc $xy \in H$, or $xy \in P$, contradiction. Donc $P \cap H\neq \emptyset$.

Si $G$ est de cardinal impair, alors tout sous-groupe $H$ de cardinal $\geq |G|/2$ est égal à $G$, donc si $P\neq \emptyset$, $P \cap H\neq \emptyset$.