Composition et multiplication des polynômes

Bonjour,

Il suffit d'écrire ce que ça signifie.

Cordialement,

Rescassol

Bonsoir, j'ai réussi à le démontrer.

On pose $P(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k$ et $Q(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^m b_k X^k$ où $n=\deg \ P$ et $m=\deg \ Q$.

Donc $P \circ T(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k T(X)^k$ et $Q \circ T(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^m b_k T(X)^k$

Ainsi $(P \circ T) (Q \circ T)(X)=\left( \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k T(X)^k \right) \left(\displaystyle\sum_{k=0}^m b_k T(X)^k \right)$

Soit $\boxed{(P \circ T) (Q \circ T)(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n+m} \left( \displaystyle\sum_{i+j=k} a_i b_j \right) T(X)^k}$

Il est évident que $(PQ) \circ T(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n+m} \left( \displaystyle\sum_{i+j=k} a_i b_j \right) T(X)^k$

On a montré que $\boxed{(P \circ T) (Q \circ T)(X) = (PQ) \circ T(X)}$

Une méthode un peu plus algébrique consiste à dire que par bilinéarité du produit de polynôme, il suffit de le prouver lorsque $P$ et $Q$ sont des monômes... auquel cas, la propriété est évidente par propriété des puissances.