Autour de la transposée ${}^tu$
Salut
Connaissez-vous des propriétés/résultats sympas/intéressants/tautologiques (je prends tout !) qui tournent autour de la notion d'application transposée d'une application linéaire ? J'ai pensé regarder sur des vieux livres de prépas mais il n'y a en fait pas grand chose, pourtant à cette époque il y a du avoir un certain nombre d'énoncés de concours sur le sujet (notamment avec des choses sur le quotient, la dualité, la réduction, les hyperplans, drapeaux, etc.).
Ce que je connais déjà.
Connaissez-vous des propriétés/résultats sympas/intéressants/tautologiques (je prends tout !) qui tournent autour de la notion d'application transposée d'une application linéaire ? J'ai pensé regarder sur des vieux livres de prépas mais il n'y a en fait pas grand chose, pourtant à cette époque il y a du avoir un certain nombre d'énoncés de concours sur le sujet (notamment avec des choses sur le quotient, la dualité, la réduction, les hyperplans, drapeaux, etc.).
Ce que je connais déjà.
- ${}^tu$ est linéaire.
- ${}^t(\mathrm{Id}_E)=\mathrm{Id}_{E^*}$.
- Noyau et image de ${}^tu$ en fonction des noyaux et des images de $u$.
- Application transposition $T:u\mapsto{}^tu$, linéaire et injective (bijective en dimension finie).
- $(u$ injective/surjective$)\Leftrightarrow({}^tu$ surjective/injective).
- ($F$ sous-espace stable par $u)\iff(F^{\perp}$ sous-espace stable par ${}^tu)$. Même chose avec l'autre sens d'orthogonalité.
- ${}^t(v\circ u)={}^tu\circ{}^tv$.
- $({}^tu)^{-1}= {}^t(u^{-1})$ lorsque $u$ isomorphisme.
- Lien avec la transposée d'une matrice.
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Réponses
Mais peut-être peut-on distinguer les théorèmes qui sont spécifiques à la dimension finie ?
$u$ et ${}^tu$ sont semblables.
Cordialement,
Rescassol
$$u^{\mathsf T}$$
[small][Cher AD, je n’ai pas vu la correction, ou peut-être as-tu ajouté le « u^ ». Je viens d’ajouter les accolades. ][/small]
$$u^\top$$
$$u^\top \qquad u^{\mathsf T}$$
Je me souviens vaguement d'un truc mais impossible de retrouver où j'ai lu ça.
Étant donnée une application linéaire $u:E\rightarrow F$, il s'agissait sauf erreur de la suite $(v_n)_{n\in\N}$ définie par : $v_0=u$, $v_1=$$^{t(1)}u=$$^tu$ et pour tout $n\geqslant 2, v_n=$$^{t(n)}u=$$^{t}($$^{t(n-1)}u)$.
La suite $(v_n)_{n\in\N}$ possède-t-elle des propriétés particulières ?
- En dimension quelconque
- En dimension finie
Je me demande en fait si l'on peut dire certains trucs un peu plus avancés.
D’ailleurs dès le début du fil j’ai dû me remettre à regarder la définition de « endomorphisme transposé » qui est plus difficile, je trouve, que « matrice transposée ». Et là c’est moi qui confonds un peu vite endomorphisme avec matrice.