Déterminant

Une matrice réelle de déterminant strictement négatif a forcément une valeur propre strictement négative. De plus, on peut supposer $x_k = 1$ pour tout $k$ quitte à considérer $x_k A_k $ à la place de $A_k $.

Après, si on a un vecteur propre associé à une valeur propres strictement négative, on peut lui appliquer les différents $A_i $ et voir ce qu'on trouve.

Par récurrence sur la dimension $m$ de l'espace.
Soit $A_1, \dots, A_n$ des matrices telles que, si $i<j$, alors $A_i A_j=0$. Soit $p$ le plus grand $i$ tel que $A_i \neq 0$. Soit $\lambda$ une valeur propre (éventuellement complexe) non nulle de $A_p$, alors il existe $x\neq 0$ telle que $A_px= \lambda x$, donc, pour tout $i<p$, $A_iA_px=\lambda A_ix$, donc, comme $A_i A_p=0$, et $\lambda \neq 0$, on a $A_ix=0$.
Donc, si $\lambda $ est réel, $A_p=\begin{pmatrix} \lambda &0 \\ 0 & B_p \end{pmatrix}$, et si $i<p$, $A_i=\begin{pmatrix} 0& L\\ 0 & B_i \end{pmatrix}$.

Si $\lambda $ n'est pas réel, $A_p=\begin{pmatrix} \lambda &0&0 \\ 0 & \overline{\lambda}&0 \\ 0 & 0 &B_p \end{pmatrix}$, et si $i<p$, $A_i=\begin{pmatrix} 0&0& L_1\\ 0 &0& L_2\\ 0&0 & B_i \end{pmatrix}$.

$L,L_1, L_2$ sont des vecteurs lignes, et $B_i$, $B_p$ des matrices $(m-1) \times (m-1)$ ou $(m-2) \times (m-2)$.

Si $i>p$, $A_i=0$, donc $B_i$ est un bloc nul.

Alors $B_1, \dots, B_n$ vérifie de même $B_iB_j=0$ si $i<j$.
Donc $\det(I_m+\sum_k (A_k+A_k^2))=(1+\lambda+\lambda^2)\det(I_{m-1}+\sum_k(B_k+B_k^2))$ si $\lambda$ réel.

Sinon, $\det(I_m+\sum_k (A_k+A_k^2))=(1+\lambda+\lambda^2)(1+\overline{\lambda}+\overline{\lambda}^2)\det(I_{m-2}+\sum_k(B_k+B_k^2))$.

Or, pour tout $\lambda$ réel, $1+\lambda+\lambda^2\geq 0$, donc, par hypothèse de récurrence, $\det(I_m+\sum_k (A_k+A_k^2))\geq 0$.

C'est l'idée de John_John et Frédéric Bosio.

Je réponds au problème initial. Je ne vois pas l'intérêt d'introduire ces $x_k$ et encore moins de supposer $x_k>0$.
Je préfère introduire $x_k$ et $y_k$ avec $y_k\geq \dfrac{x_k^2}4$ et montrer que si $A_iA_j=0$ quand $i<j$ : $$\det( \mathrm I_m +\sum_{k=1}^{n}(x_kA_k + y_kA_k^2) ) \geq 0$$
Je n'aime pas dévoiler la solution d'un exercice mais je vais quand-même dire qu'il suffit de savoir que $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ et que $\det(A\bar{A})=|\det(A)|^2$ pour résoudre l'exercice en une ligne.