Un anneau quotient

Suivant l'idée de Maxtimax, on peut considérer l'algèbre $B=\Q [X,Y,Z]/(X^2,Y^2, XY,Y-ZX,X-ZY)$ (on suppose donc $Z=T$ et $X^2=Y^2=XY=0$). $\{X^2,Y^2,XY,Y-ZX,X-ZY\}$ est une base de Groebner pour l'ordre lexicographique tel que $Z>Y>X$.

Soit $U$ un inversible de $B$, alors on peut écrire $U=P(Z)+Q(Z)Y$, car $X=YZ$ et $Y^2=0$. Soit $V$ son inverse sous la forme $V=R(Z)+S(Z)Y$, alors $UV=1$ implique $P(Z)R(Z)+(P(Z)S(Z)+Q(Z)R(Z))Y=1$ car $Y^2=0$.
Soit $C=B/(Y)$, l'algèbre $C$ est $\Q[Z]$.
Donc en posant $Y=0$, on obtient $P(Z)R(Z)=1$ dans $\Q[Z]$, donc $P(Z)\in \Q^*$.
Réciproquement, si $U=\alpha+Q(Z)Y$, avec $\alpha \in \Q^*$, $U$ est inversible d'inverse $\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\alpha^2}Q(Z)Y$.

Si $X=UY$ avec $U=\alpha+Q(Z)Y$ inversible (avec $\alpha \in \Q^*$), alors $X=\alpha Y+Q(Z)Y^2= \alpha Y$, car $Y^2=0$ dans $B$.
Donc $X- \alpha Y=0$ dans $B$.
C'est impossible car il n'y a pas de polynôme de degré $1$ en $X,Y$ dans la base de Groebner de $B$.

Donc dans $B$, $(X)=(Y)$ et $X$ ne s'écrit pas $UY$ avec $U$ inversible.

Je reviens sur ce fil pour proposer une autre résolution de cette question http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2285786,2285798#msg-2285798 (peut-être plus "simple").

On va montrer que si $u\in \Z[X,Y,Z,T]/(X-ZY,Y-TX)$ vérifie $x=uy$ alors $u=z$, et comme il est facile de montrer que $z$ n'est pas inversible on aura la réponse ($x,y,z$ étant les classes respectives de $X,Y,Z$).


Soit donc $u\in \Z[X,Y,Z,T]/(X-ZY,Y-TX)$ tel que $x=uy$.

En revenant à l'anneau $\Z[X,Y,Z,T]$ ceci est équivalent à dire qu'il existe $P,Q,U\in \Z[X,Y,Z,T]$ tels que $$X-U(X,Y,Z,T)\cdot Y=Q(X,Y,Z,T)\cdot (X-ZY)+P(X,Y,Z,T)\cdot (Y-TX)$$
avec $U$ un représentant de $u$.

En évaluant cette expression en $(a,ab,1/b,b)$ pour $a,b\neq 0$, $a,b\in \Q$ on a : $b\cdot U(a,ab,1/b,b)-1=0 \quad (1)$.

Exprimons $U$ comme $\displaystyle U=\sum_{k=0}^n u_k(X,Y,T) \cdot Z^k$ avec $u_k(X,Y,T)\in \Z[X,Y,T]$ pour tout $k$. En remplaçant dans $(1)$ on trouve $\forall a,b\in \Q^{*}, \displaystyle \sum_{k=0}^n u_k(a,ab,b) \cdot b^{n-k}-b^{n-1}=0$.

Le polynôme $\displaystyle \sum_{k=0}^n u_k(X,XT,T) \cdot T^{n-k}-T^{n-1}$ s'annule donc sur un ouvert de $\Q^2$ et par suite, $\displaystyle \sum_{k=0}^n u_k(X,XT,T) \cdot T^{n-k}-T^{n-1}=0$.

Donc, $u_1(X,TX,T)=1$ et $\forall j\neq 1, u_j(X,TX,T)=0$.

Mais ceci implique $u_1(X,Y,T)-1\in (Y-TX)$ et $\forall j\neq 1, u_j(X,Y,T)\in (Y-TX)$.

On voit donc que dans l'anneau $\Z[X,Y,Z,T]/(X-ZY,Y-TX)$ on a $u_1(x,y,t)=1$ et $\forall j\neq 1, u_j(x,y,t)=0$, c'est-à-dire $u=z$.