Isomorphismes

Code_Name
Code_Name
dans Algèbre
Bonjour, soit $f:G\to H,\; g:H\to G$ deux morphismes de groupes.
Supposons que $f\circ g$ et $g\circ f$ soient des isomorphismes. Comment montrer que $f$ et $g$ sont aussi des isomorphismes ? Merci.

Réponses

  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Ça n'a rien à voir avec les groupes en fait. Soient $f:E\to F$ et $g:F\to E$ des applications ensemblistes. Si $f\circ g$ et $g\circ f$ sont bijectives, alors $f$ et $g$ sont bijectives.
  • Code_Name
    Code_Name
    Comment le montrer? Si je note $G$ l'inverse de $f\circ g$ alors $G\circ f$ est un inverse à gauche de $g$. De même on montre qu'il y a toujours des inverses à gauche et à droite pour $f$ et $g$ mais on ne sait pas si ils sont les mêmes...
  • llorteLEG
    llorteLEG
    Hello! Et si tu montrais "à la main" que f était bijective?
  • Code_Name
    Code_Name
    Effectivement :-D
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Si $f$ a un inverse à droite et à gauche, alors ils coïncident et $f$ est bijective.
    C'est la même preuve que l'unicité de l'inverse dans un groupe.

    D'ailleurs ta suggestion est bien meilleure que celle de montrer que c'est une bijection "à la main", parce qu'elle s'applique par exemple pour les espaces topologiques où homéomorphisme $\neq$ bijection continue.
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    C’est un exercice taupinal classique.
    Si $f \circ g$ est injectif, alors…
    Si $f \circ g$ est surjectif, alors…
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 38

Arnaud_GCidrolinHéhéhéJLTKarnajMatricule_63biguine_equationeoghanpozzar +29 Invités