Bijections entre G et son dual
Je tente de résoudre ces deux exercices parus dans un article de la Revue de Mathématiques Spéciales (année 2017) : Analyse harmonique sur un groupe abélien fini et principes d’incertitude par Nicolas Tosel.
Je précise les notations et définitions adoptées par l’auteur et la manière dont j’ai traité le problème $5$.
$(G,+)$ est un groupe $\textbf{abélien fini}$. Soit $\widehat{G}$ son groupe dual i.e. le groupe des homomorphismes de $G$ vers $\mathbb{C}^*$ dont l’ordre est égal à celui de $G$.
Soient $H$ un sous-groupe de $G$ et l’application $f:\: H \mapsto H^{\bot}$, où $H^{\bot}$ désigne l’ensemble des caractères de $G$ qui sont triviaux sur $H$ :
\begin{equation}
\displaystyle f(H)=H^{\bot}=\{\chi \in \widehat{G} \mid H \subset \ker(\chi)\}=\{\chi \in \widehat{G} \mid \chi(h)=1 ,\ \forall h \in H \}.
\end{equation} Enfin, comme mentionné dans l’énoncé de l’exercice $5$, si $Y$ est une partie de $\widehat{G}$, on note $Y^\circ$ le sous-groupe de $G$ défini par $\displaystyle Y^\circ=\bigcap_{\chi \in Y} \ker(\chi)$.
Ce n’est pas clairement dit dans l’article mais j’ai cru comprendre que l’auteur désignait par $K$, le sous-groupe $H^{\bot}$ du groupe dual $\widehat{G}$ lequel sous-groupe consistant en l’ensemble des caractères de $G$ dont le noyau contient $H$.
Je trouve cette double notation source de confusion car elle laisse à penser que $K$ est distinct de $H^{\bot}$ alors qu’ils sont identiques !
À moins que je n’ai rien compris à l’exercice $5$ !
Je fais l’hypothèse optimiste que j’ai raison et quitte à alourdir un peu l’écriture, je remplace donc $K$ par $H^{\bot}$ et $K^\circ$ par $(H^{\bot})^\circ$.
Soit donc l’application $g:\: H^{\bot} \mapsto (H^{\bot})^\circ$, où $(H^{\bot})^\circ$ désigne le sous-groupe de $G$ suivant :
\begin{equation}
\displaystyle g(H^{\bot})=(H^{\bot})^\circ=\bigcap_{\chi \in H^{\bot}} \ker(\chi)=\{g \in G\mid \chi(g)=1,\ \forall \chi \in K\}
\end{equation}
$\textbf{Principe d’une solution}$. Montrer que $H’=g(f(H))=H$. En déduire que $g \circ f$ est l’$\textbf{application identité}$.
Montrer par dualité qu’il en est de même pour $f \circ g$.
Je ne sais pas si tout cela est très clair.
Auriez-vous une idée pour l’exercice $6$ ?
En vous remerciant pour d’éventuelles suggestions.
…
Je précise les notations et définitions adoptées par l’auteur et la manière dont j’ai traité le problème $5$.
$(G,+)$ est un groupe $\textbf{abélien fini}$. Soit $\widehat{G}$ son groupe dual i.e. le groupe des homomorphismes de $G$ vers $\mathbb{C}^*$ dont l’ordre est égal à celui de $G$.
Soient $H$ un sous-groupe de $G$ et l’application $f:\: H \mapsto H^{\bot}$, où $H^{\bot}$ désigne l’ensemble des caractères de $G$ qui sont triviaux sur $H$ :
\begin{equation}
\displaystyle f(H)=H^{\bot}=\{\chi \in \widehat{G} \mid H \subset \ker(\chi)\}=\{\chi \in \widehat{G} \mid \chi(h)=1 ,\ \forall h \in H \}.
\end{equation} Enfin, comme mentionné dans l’énoncé de l’exercice $5$, si $Y$ est une partie de $\widehat{G}$, on note $Y^\circ$ le sous-groupe de $G$ défini par $\displaystyle Y^\circ=\bigcap_{\chi \in Y} \ker(\chi)$.
Ce n’est pas clairement dit dans l’article mais j’ai cru comprendre que l’auteur désignait par $K$, le sous-groupe $H^{\bot}$ du groupe dual $\widehat{G}$ lequel sous-groupe consistant en l’ensemble des caractères de $G$ dont le noyau contient $H$.
Je trouve cette double notation source de confusion car elle laisse à penser que $K$ est distinct de $H^{\bot}$ alors qu’ils sont identiques !
À moins que je n’ai rien compris à l’exercice $5$ !
Je fais l’hypothèse optimiste que j’ai raison et quitte à alourdir un peu l’écriture, je remplace donc $K$ par $H^{\bot}$ et $K^\circ$ par $(H^{\bot})^\circ$.
Soit donc l’application $g:\: H^{\bot} \mapsto (H^{\bot})^\circ$, où $(H^{\bot})^\circ$ désigne le sous-groupe de $G$ suivant :
\begin{equation}
\displaystyle g(H^{\bot})=(H^{\bot})^\circ=\bigcap_{\chi \in H^{\bot}} \ker(\chi)=\{g \in G\mid \chi(g)=1,\ \forall \chi \in K\}
\end{equation}
$\textbf{Principe d’une solution}$. Montrer que $H’=g(f(H))=H$. En déduire que $g \circ f$ est l’$\textbf{application identité}$.
Montrer par dualité qu’il en est de même pour $f \circ g$.
Je ne sais pas si tout cela est très clair.
Auriez-vous une idée pour l’exercice $6$ ?
En vous remerciant pour d’éventuelles suggestions.
…
Réponses
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Tu n'as en effet pas compris l'exercice $5$. La seconde application est définie sur l'ensemble des sous-groupes de $\widehat G$, et à un tel sous-groupe, noté $K$, lui associe $K^\circ$.
Pour l'exercice $6$, le plus simple est de commencer par deviner quel va être l'isomorphisme en question. Dans le sens $H^{\perp} \to \widehat{G/H}$ ça me semble plus facile à voir. Ensuite il ne reste plus qu'à montrer qu'il s'agit bien d'un isomorphisme. -
D’accord, merci.
Je ne vais pas toucher au premier post et je vais rédiger une seconde solution.
Je suis preneur pour d’autres remarques ou critiques.
… -
Si $H$ est un sous-groupe de $G$, l’application $f$
\begin{equation}
\displaystyle H^{\bot}=\{\chi \ \in \widehat{G}\mid H \subseteq \ker(\chi)\}
\end{equation} est bel et bien une bijection entre l’ensemble de tous les sous-groupes de $G$ et celui de tous les sous-groupes de $\widehat{G}$.
La démonstration de ce fait n’est pas du tout immédiate bien qu’élémentaire ! Elle repose sur l’existence d’un isomorphisme entre $G$ et le dual du dual de $G$. On m’a signalé que l’exercice figurait dans l’ouvrage de Serre : Représentations linéaires des groupes finis.
Je ne vois pas comment démontrer la bijection réciproque qui, à un sous-groupe $K$ de $\widehat{G}$, associe $K^°$.
… -
Pour montrer que $g \circ f$ donne l'identité sur les sous-groupes de $G$, il te suffit de montrer :
$$\forall H < G, \qquad \bigcap_{\chi \in H^{\perp}} \ker(\chi)=H .
$$ Or c'est justement l'énoncé de la proposition 2 que tu envoies. -
Merci !
On justifie facilement que cette intersection contient $H$.
Chacun des caractères $\chi$ contenus dans $H^{\bot}$ vérifie $\chi(h)=1$ pour tout $h \in H$.
Ce qui est équivalent au fait que, pour un $h \in H$ donné, $\chi(h)=1$ pour tout $\chi \in H^{\bot}$.
L’ensemble $\bigcap_{\chi \in H^{\bot}} \ker(\chi)$ étend l’intersection des noyaux à tout le groupe $G$ (et plus uniquement à $H$).
Il est donc clair qu’il contient $H$.
… -
J’ignorais qu’il existait un principe d’incertitude plus « mathématique », disons plus détaché d’une interprétation physique.
… -
Oui c'est très général comme principe, dans sa version la plus générale on peut dire que cela localise où le couple $(f,\widehat f)$ (avec $f$ une fonction d'un certain type : $L^2$, $L^1$, $L^\infty$ etc) ne peut pas être.
D'ailleurs c'est intéressant car le principe de Dohono-Stark dont il est question dans l'article pourrait se généraliser ;
en effet, l'auteur utilise seulement la minoration :
$$\left | \int_{G} f(x) \mathrm d\mu(x) \right | \le \Vert f \Vert_{\infty} \mu(S(f)),
$$ et la formule d'inversion de Fourier. Donc tout groupe ayant une bonne structure $L^\infty$ et vérifiant une formule d'inversion de Fourier serait un bon candidat. -
$\textbf{Exercice 6}$: $H^{\bot} \cong \widehat{G/H}$.
Quelques éléments (incomplets) de réponse.
$\chi:\: G \longrightarrow \mathbb{C}^{\times}$ est un homomorphisme de groupes.
On sait que pour tout $\chi \in H^{\bot} \subseteq \widehat {G}$, $H \subseteq \ker(\chi)$.
Le $\textbf{premier théorème d’isomorphisme}$ permet de déduire l’existence d’un isomorphisme $\tilde{\chi}:\: G/H \longrightarrow \mathbb{C}^{\times}$ (bien) définie par
\begin{equation}
\tilde{\chi}(gH):=\chi(g), \: \: g \in G.
\end{equation}
Inversement, pour tout $\tilde{\chi}:\:G/H \longrightarrow \mathbb{C}^{\times}$, on a $\chi=\tilde{\chi} \circ \pi \in H^{\bot}$ avec $\pi:\:G \longrightarrow G/H$ surjective.
On en déduit, par dualité, que $F_{H}: \: H^{\bot} \subseteq \widehat{G} \longrightarrow \widehat{G/H}$ définie par $F_H(\chi):=\tilde{\chi}$ est un homomorphisme surjectif.
De plus, $F_H$ est injective: si $\chi=\psi$, $\tilde{\chi}=\tilde{\psi}$.
Donc $F_H$ est un isomorphisme et $\vert H^{\bot}\vert= \vert \widehat{G/H}\vert= \vert G/H \vert$.
… -
Pourquoi un caractère serait surjectif dans $\mathbb C^{\times}$ ?
-
Bien sûr ! L’hypothèse « surjective » est en trop. J’ai corrigé.
Il est rare que l’image d’un groupe par un homomorphisme soit la totalité du groupe cible.
… -
Soit $G$ un groupe fini d’exposant $n$.
Si l’on restreint l’image de $\chi$ au groupe $\mu_n$ des racines $n$-ième de l’unité, sous-groupe fini et cyclique de $\mathbb{C}^{\times}$, on a bien $\chi(g) \subset \mu_n$ pour tout $g \in G$.
Mais est-ce qu’on « récupère » un homomorphisme surjectif de $G$ vers $\mu_n$ ?
PS : il n’y a pas de « restriction » à faire puisque tous les caractères linéaires complexes de $G$ vérifient $\vert \chi(g) \vert =1,\ g \in G$.
… -
Que penses-tu du morphisme trivial $g \mapsto 1$ ?
-
C’est un homomorphisme: non-injectif et non-surjectif. Si il est défini entre $G$ et $G$, son image est le sous-groupe trivial de $G$.
… -
Je reviens sur la confusion (créée par moi) sur la présence du mot « surjectif » dans la définition de l’homomorphisme $\chi:\: G \longrightarrow \mathbb{C}\setminus\{0\}$.
$G$ est un groupe abélien fini d’ordre $n$. Le caractère $\chi$ envoie un élément de $g \in G$ sur une puissance de $e^{
\frac{2\pi i}{n}}$. Donc $\chi(g)$ est une racine $n$-ième de l’unité pour tout $g \in G$.
Je pensais qu’une condition d’application du premier théorème d’isomorphisme était que $\chi$ soit un homomorphisme surjectif.
Or, il faut juste que l’image de $\chi$ soit un sous-groupe du groupe multiplicatif des complexes non-nuls.
C’est bien le cas puisque $\chi$ est un isomorphisme entre $G$ et le groupe des racines $n$-ième de l’unité dans $\mathbb{C}$.
Si $k$ est un corps dont la caractéristique ne divise pas l’ordre $n$ de $G$, alors tout homomorphisme $G \longrightarrow k^{\times}$ a pour image le groupe abélien fini des racines $n$-ième de l’unité dans $k$.
Concernant le morphisme trivial, son noyau est $G$.
… -
df a écrit:C’est bien le cas puisque $\chi$ est un isomorphisme entre $G$ et le groupe des racines $n$-ième de l’unité dans $\mathbb{C}$.
Tu répètes la même erreur, $\chi$ n'est pas, en général, un isomorphisme entre $G$ et le groupe des racines $n$-ièmes de l'unité, il n'a aucune raison d'être surjectif.df a écrit:Si $k$ est un corps dont la caractéristique ne divise pas l’ordre $n$ de $G$, alors tout homomorphisme $G \longrightarrow k^{\times}$ a pour image le groupe abélien fini des racines $n$-ième de l’unité dans $k$.
Ben non, à nouveau ce n'est pas le cas du caractère trivial par exemple (sauf si $n=1$ bien sûr). L'image est toujours incluse dans le groupe des racines $n$-ièmes de l'unité mais n'a aucune raison d'être tout ce groupe. Je n'arrive pas à comprendre pourquoi tu persistes dans cette erreur basique. -
OK, j’ai compris. Au temps pour moi. L’exemple du morphisme trivial est effectivement parlant.
Ce qui me gêne dans cette histoire, c’est la taille des ensembles d’arrivée. Je ne comprends pas pourquoi on prend $k=\mathbb{C}$ alors que, dans bien des cas, un corps de caractéristique $0$ contenant toutes les racines $n$-ième de l’unité suffit largement !
Mais ça ne change rien au fait que pour un caractère $\chi$ donné, son image n’est pas, en général, tout le groupe $\mu_n(k)$.
… -
Une dernière chose: donc, toujours dans le cas où $G$ est abélien fini, $\chi:\: G \longrightarrow k^{\times}$ est à valeurs dans $\mu_n(k)$.
Tout élément de $\mu_n(k)$ est l’image par un certain $\chi \in \widehat{G}$ d’un certain $g \in G$.
De plus, les groupes $G$ et $\widehat{G}=\text{Hom}(G,\mu_n(k))$ sont isomorphes.
Est-ce que ça, c’est vrai ?
… -
Ce silence m’inquiète ! Est-ce que j’ai encore dit une (ou des) c…eries ?
Je cherche un exemple simple et concret où, malgré tout, l’image d’un caractère $\chi$ est tout le groupe des racines de l’unité.
Si je prends le groupe cyclique $G=(\mathbb{Z}_6,+)$: ses générateurs sont $[1]$ et $[5]$ et ses $6$ éléments $[0],[1],…[5]$ sont autant de classes de conjugaison.
Il y a donc bien $\vert G \vert =6$ caractères linéaires pour $G$ définis par
\begin{equation}
\chi_m([j])=\zeta_6^{jm}, \:\:0 \leq m \leq 5, \: \: 0 \leq j \leq 5
\end{equation}
où $\zeta_6=e^{\frac{2i\pi}{6}}$ est une racine primitive sixième de l’unité.
Ils forment le groupe dual $\widehat{G}$ isomorphe à $G$.
Si $m=5$, l’image de l’homomorphisme (surjectif pour le coup), $\chi_m([j])$, est l’ensemble des racines sixièmes de l’unité.
… -
Mon silence est du au fait que je ne suis pas 24h/24h sur le forum, contrairement aux apparences ! (:P)
Ce que tu dis dans ce message est vrai, car un groupe abélien fini d'exposant $n$ admet toujours un élément $g$ d'ordre $n$. Il suffit alors de montrer l'existence d'un caractère envoyant cet élément sur une racine primitive $n$-ième de l'unité. Or, en définissant de manière évidente un caractère de $\langle g \rangle$ par $g \mapsto \zeta_n$ (où $\zeta_n$ est une racine primitive $n$-ième de l'unité dans $k$), le lemme de prolongement des caractères permet d'en déduire l'existence du caractère de $G$ recherché.
Pour l'isomorphisme entre $G$ et $\hat G$, c'est effectivement vrai (de manière non canonique). On peut l'obtenir très facilement si on dispose du théorème de structure des groupes abéliens finis, car un groupe cyclique est facilement isomorphe à son dual, et le dual d'un produit (fini) est isomorphe au produit des duals (et pas duaux !).
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