Union d'espaces vectoriels
Bonsoir,
Mes réponses sont-elles correctes ?
Je sais que la première proposition est fausse. Si $F= \{0 \}$ alors $F+G=G=E$ ce qui est absurde.
2) Vrai. Soit $E=\R^2$ et $F=Vect(1,1)$ et $G=Vect(-1,1)$ deux droites vectorielles qui n'ont pas la même direction. Elles génèrent donc $E$ et $F+G=E$.
On a $(0,1) \notin F \cup G$.
3) Vrai.
On voit facilement que $E \subset F'+G$ car $E=F+G$. En effet, si $x \in E$ alors $x= x_F + x_G$ et $x_F \in F'$
Mes réponses sont-elles correctes ?
Je sais que la première proposition est fausse. Si $F= \{0 \}$ alors $F+G=G=E$ ce qui est absurde.
2) Vrai. Soit $E=\R^2$ et $F=Vect(1,1)$ et $G=Vect(-1,1)$ deux droites vectorielles qui n'ont pas la même direction. Elles génèrent donc $E$ et $F+G=E$.
On a $(0,1) \notin F \cup G$.
3) Vrai.
On voit facilement que $E \subset F'+G$ car $E=F+G$. En effet, si $x \in E$ alors $x= x_F + x_G$ et $x_F \in F'$
Réponses
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Pour la 2) tu as montrée qu'elle est vraie dans un cas particulier mais on te demande si elle est toujours vraie avec les hypothèses de l'énoncé.
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Tu vois que 3) utilise 2), et si 2) utilisait 1)...? Non?
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D'accord merci.
Je ne vois pas à quoi sert la question 1 pour la 2.
Je ne trouve pas comment faire pour la 2. -
Tiens... est-ce que $F \cup G$ est un sous-espace de $E$ ?
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Non pas toujours. On peut le voir graphiquement en prenant $E=\R^2$ et $F$ et $G$ deux droites vectorielles distinctes.
Il l'est si $F \subset G$ ou $G \subset F$. -
Pour le 2), suppose par exemple le contraire et vois ce qu’il se passe en utilisant 1).
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Le contraire donne pour tout $x \in E$, $x \in F \cup G$.. Mais d'après 1), ni $F$ ni $G$ ne sont réduits au vecteur nuls.
Je ne vois pas comment avancer :-S -
Encore une fois, tu manipules des formules sans les comprendre.
Peux-tu m'écrire la même chose que "$\forall~x \in E,~x \in F\cup G$" sans faire intervenir de $x$ ?
EDIT : le but n'étant pas de le renommer en $y$, bien sûr. -
$E \subset F \cup G$ donc $E=F \cup G$
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Voilà. En particulier, $F \cup G$ est un sous-espace de $E$, et tu me disais quoi à propos de ça ?
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Après franchement pour la 2) il n'y a pas besoin de raisonner par l'absurde, on peut y aller directement comme dans ton exemple particulier. Tu prends un éléments non nul de $F$ et un élément non nul de $G$ et avec ces deux éléments tu fais "l'unique" chose possible dans un espace vectoriel...
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Il pourra voir la preuve directe après, laissons-le déjà faire une preuve complète et juste.
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Si $F$ n'est pas inclus dans $G$ et $G$ n'est pas inclus dans $F$, c'est impossible d'avoir $F \cup G=E$ car $F \cup G$ n'est pas un sous-espace vectoriel.
Soit $y$ un élément non nul de $F$ et $z$ un élément non nul de $G$ alors $y \in F \cup G$ et $z \in F \cup G$. Et après :-S -
Et après comment tu peux obtenir un troisième élément à partir de $y$ et $z$ dans un espace vectoriel ? Ce troisième élément fait l'affaire...
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Tu n'as pas écrit ce que je voulais que tu écrives... essaie de conclure avec l'approche de raoul.S, mais essaie aussi de comprendre pourquoi $E = F \cup G$ pose un problème.
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$y+z$ mais je ne vois pas quoi en faire.
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Conseil, faire un dessin (dans le plan, avec F et G deux droites vectorielles).
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Comme quoi, le conseil de faire des dessins... !
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Dommage, d’un point de vue logique et mémoire, l’absurde était plus intéressant pour OShine.
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Tu ne comprends pas la méthode de raoul.S?
Il l’a pourtant quasiment faite à ta place. -
Je ne comprends aucun des deux raisonnements.
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Bon OShine je rédige "mon approche" : soit $y$ un élément non nul de $F$ et $z$ un élément non nul de $G$ alors $y+z$ n'est ni dans $F$ ni dans $G$ donc n'est pas dans $F\cup G$. En effet si $y+z\in F$ alors $z=(y+z)-y\in F$ donc $z\in F\cap G$ donc $z=0$ ce qui est absurde. Idem pour $G$.
Essaie "l'approche de Homo Topi / Ibni"... -
À noter qu’il y a quand même une petite dose d’absurde dans ton raisonnement cher ami du forum.
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Après avoir oublié qu'une surfamille d'une famille liée est liée tu as oublié la définition d'une somme directe maintenant ? La méthode de raoul est facile. D'autant plus si un comité de gens compétents a décidé qu'on était capable d'enseigner les mathématiques...
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La méthode par l’absurde, c’est essentiellement la même chose que la dernière phrase du raisonnement de raoul.S, j’dis ça, j’dis rien :-)
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Une union d'espaces vectoriels n'est pas en général un espace vectoriel...
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Par contre dès qu'on n'est plus en caractéristique nulle le résultat n'est plus vérifié :
$\mathbb{F}_2\times \mathbb{F}_2=\langle e_1\rangle \cup \langle e_2\rangle \cup \langle e_1+e_2\rangle$ où $e_1,e_2$ sont les vecteurs de la base canonique. -
Merci RaoulS normal que je n'y arrivais pas j'ai oublié l'hypothèse $E= F \oplus G$ :-(
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Ben, pour faire un raisonnement par l'absurde, c'est quand même important de se rappeler des hypothèses, non ?
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Donc il y a bien un problème de mémoire... Maintenant, de quelle nature et avec quelle gravité ?... D'autant que là, on est sur un forum en ligne, tout est écrit, archivé et consultable facilement...
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OShine est un adulte à qui on a dit plusieurs fois d'aller consulter un neurologue. S'il ne le fait pas, c'est son problème.
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OShine a écrit:J’ai oublié l’hypothèse $E=F\oplus G$.
Ah oui là effectivement...il y a un problème...
Bon. Il existe un élément de $E=F\oplus G$ qui s’écrit $y+z$ avec $y\in F$ et $z\in G$ non nuls(cf 1). Supposons la proposition 2) fausse, alors $y+z$ est dans $F$ ou $G$ (tu te souviens pourquoi?). C’est absurde. La suite est la dernière phrase de raoul.s ( «En effet(...). Idem pour $G$. »).
Terminé.
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