Polynôme irréductible dans R[X]
dans Algèbre
Bonjour
On pose, pour $n \in \mathbb{N}^{*},\ P_{n}(X)=\sum_{k=0}^{n-1}X^{2k}$
Je veux montrer que la décomposition en pdt produits de facteurs irréductibles sur $\R$ s'écrit :
$P_{n}(X)=\prod_{k=1}^{n-1}\big(X^{2}-2\cos(\frac{k\pi}{n})X+1\big).$
Est-ce que je peux montrer que $\forall k \in \{1,\ldots,n-1\},$ le polynôme $X^{2}-2\cos(\frac{k\pi}{n})X+1$ admet deux racines non-réelles $r_{1}$ et $r_{2}$, qui sont aussi racines de $P_{n}$ ? (Au final, les 2n-2 racines trouvées sont deux à deux distinctes).
Merci.
On pose, pour $n \in \mathbb{N}^{*},\ P_{n}(X)=\sum_{k=0}^{n-1}X^{2k}$
Je veux montrer que la décomposition en pdt produits de facteurs irréductibles sur $\R$ s'écrit :
$P_{n}(X)=\prod_{k=1}^{n-1}\big(X^{2}-2\cos(\frac{k\pi}{n})X+1\big).$
Est-ce que je peux montrer que $\forall k \in \{1,\ldots,n-1\},$ le polynôme $X^{2}-2\cos(\frac{k\pi}{n})X+1$ admet deux racines non-réelles $r_{1}$ et $r_{2}$, qui sont aussi racines de $P_{n}$ ? (Au final, les 2n-2 racines trouvées sont deux à deux distinctes).
Merci.
Réponses
-
Si tu réussis à montrer que les solutions sont 2 à 2 distinctes, alors les deux polynômes coincident bien évidemment, le produit divise alors Pn, + les 2 polynômes ont le même degrés+ les deux sont unitaires.
-
Il semble que cela se fait assez bien. Sachant que finalement, on obtient quelque chose du style : les racines sont les racines 2n-iemes de l'unité sauf -1 et 1. C'est clair que ces racines sont distinctes.
-
Oui, en calculant discriminant Delta, tout sera clair! :-)
-
Bonjour.
Je ne sais pas pourquoi, mais j'aurais été tenté d'étudier $P(X)(X^2-1)$ pour retrouver deux racines réelles simples et $2n-2$ racines complexes deux à deux conjuguées. Puis utiliser la factorisation dans $\mathbb C$ pour obtenir la factorisation de $P$ dans $\mathbb R$.
Cordialement. -
Oui gerard0, c'est correct, mais lui, il a pensé autrement..
-
La méthode de gerard0 permet aussi d'obtenir la factorisation de $P_n$ dans $\mathbb Q(X]$ qui est plus intéressante à mon avis...
-
Je n'avais pas pensé à ceci ! Merci beaucoup.
Autrement, je crois qu'on peut aussi nous servir de la chose suivante :
Soit $z\in \mathbb{C}$ une racine de $P_{n}$
Comme la racine ne vaut pas 1 ni -1 (on peut le vérifier), on peut utiliser que :
$P_{n}(z)=\frac{1-z^{2n}}{1-z^{2}}=0$
On retrouve que les racines sont les racines 2n-iemes de l'unité, sauf 1 et -1 bien entendu
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 36
+26 Invités