Déterminant

etanche
etanche
dans Algèbre
Bonjour

Résoudre exercice 2

avec l’indication remplacer $x_1$ dans la première colonne par une variable $x$ et considérer $D(x)$

Merci124778

Réponses

  • Vincent
    Vincent
    La transposée de la matrice considérée est la matrice de l'application $\mathbb{R}_4[X] \rightarrow \mathbb{R}^5$ donnée par $P \longmapsto (P(x_1), P'(x_1), P(x_2), P'(x_2),P''(x_2))$. L'interpolation de Hermite donne alors le résultat.
  • etanche
    etanche
    @Vincent je ne crois pas qu’un élève de taupe sache ce qu’est l’interpolation d’Hermite.

    Si on développe on trouve un joli résultat $2(x_1 - x_2)^6$

    Faudrait une preuve sans développer le déterminant.
  • nimajneb
    nimajneb
    Hello,
    $D'(x_1)=D(x_2)=D'(x_2)=D''(x_2)=0$, on en déduit $D'$ puis $D$ et enfin $D(x_1)$ (mais c'est identique à la preuve donnée plus haut)
  • etanche
    etanche
    @nimajneb après avoir demandé un prof de maths spé PSI il ne savent pas dériver un déterminant.

    L’indication c’est de procéder comme pour le calcul du déterminant de Vandermonde en remplaçant dans la 1ère colonne de D
    $x_1$ par la variable x.
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    etanche a écrit:
    Faudrait une preuve sans développer le déterminant.

    Si $x_1=x_2$, les colonnes 1 et 3 sont identiques donc le déterminant est…
    Si $x_1 \neq x_2$, on peut le faire en résolvant un système d’équations et en montrant que la seule solution est le quintuplet $(0,0,0,0,0)^T$. Ça évite de calculer le déterminant mais bon.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Math Coss
    Math Coss
    C'est bien mais ce n'est pas la fin de l'histoire car il faut ensuite fixer $x_2$, considérer $x_1$ comme une indéterminée et invoquer un argument de polynomialité pour en déduire que le résultat est une puissance de $x_1-x_2$ ; puis calculer le coefficient dominant.
  • etanche
    etanche
    Avec des opérations élémentaires $D(x)=-2(x_1-x_2)^2(x-x_2)^3(3x-4x_1+x_2)$
  • nimajneb
    nimajneb
    Pas besoin de «dériver un déterminant» (j'imagine que tu pensais à la formule de la différentielle du déterminant avec la comatrice), il faut juste savoir que le déterminant est linéaire en la première colonne.
    On trouve $D'(x)=C(x_1,x_2)(x-x_{2}^{2})(x-x_1)$, et pour conclure il suffirait de prouver que $C(x_1,x_2)\neq 0$ si $x_1 \neq x_2$.

    En fait après réflexion, la méthode de @Vincent me paraît la plus simple, parce qu'il est évident que l'application $\mathbb R_{4}[X] \to \mathbb R^5$ qu'il définit est injective, donc bijective par dimensions.
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