Déterminant
Bonjour
Résoudre exercice 2
avec l’indication remplacer $x_1$ dans la première colonne par une variable $x$ et considérer $D(x)$
Merci
Résoudre exercice 2
avec l’indication remplacer $x_1$ dans la première colonne par une variable $x$ et considérer $D(x)$
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Réponses
Si on développe on trouve un joli résultat $2(x_1 - x_2)^6$
Faudrait une preuve sans développer le déterminant.
$D'(x_1)=D(x_2)=D'(x_2)=D''(x_2)=0$, on en déduit $D'$ puis $D$ et enfin $D(x_1)$ (mais c'est identique à la preuve donnée plus haut)
L’indication c’est de procéder comme pour le calcul du déterminant de Vandermonde en remplaçant dans la 1ère colonne de D
$x_1$ par la variable x.
Si $x_1=x_2$, les colonnes 1 et 3 sont identiques donc le déterminant est…
Si $x_1 \neq x_2$, on peut le faire en résolvant un système d’équations et en montrant que la seule solution est le quintuplet $(0,0,0,0,0)^T$. Ça évite de calculer le déterminant mais bon.
-- Schnoebelen, Philippe
On trouve $D'(x)=C(x_1,x_2)(x-x_{2}^{2})(x-x_1)$, et pour conclure il suffirait de prouver que $C(x_1,x_2)\neq 0$ si $x_1 \neq x_2$.
En fait après réflexion, la méthode de @Vincent me paraît la plus simple, parce qu'il est évident que l'application $\mathbb R_{4}[X] \to \mathbb R^5$ qu'il définit est injective, donc bijective par dimensions.