Polynômes degré 4 (Ferrari)

Bonjour à tous

Soit $P$ la fonction polynomiale définie par :
$$\forall z \in \mathbb{C},\quad P(z)=z^4+pz^2+qz+r,$$ avec bien sûr $(p,q,r)\in \mathbb{C}^3$.
Dans une première question, je dois expliciter un polynôme complexe $T_{\lambda}$ de degré au plus deux tel que :
$$\forall z \in \mathbb{C}, \quad P(z)=\big(z^2+\frac{\lambda}{2}\big)^2 - T_{\lambda}(z).
$$ J'ai trouvé le polynôme $T_{\lambda}$ défini par : $\forall z \in \mathbb{C},\quad T_{\lambda}(z)=(\lambda-p)z^2-qz+\frac{\lambda^2}{4}-r.$
Ensuite, on me demande de montrer que $T_{\lambda}$ est le carré d'un polynôme de degré au plus un si et seulement si $\lambda$ vérifie une équation de degré trois que l'on précisera.
Pour le sens direct, j'ai fait la chose suivante.
Supposons que $T_{\lambda}$ est le carré d'un polynôme de degré au plus un. En d'autres termes, $\exists (\alpha, \beta)\in \mathbb{C}^2$ tel que pour tout complexe $z$, $(\alpha z +\beta)^2=T_{\lambda}(z)$
Après développement du carré, il vient par identification que :
$\alpha^2=\lambda-p\ $ ; $\ 2\alpha \beta=-q\ $ ; $\ \beta^2=\frac{\lambda^2}{4}-r$
En multipliant la première égalité et la troisième égalité entre elles et en passant au carré la deuxième, on obtient que :
$\alpha^2 \beta^2=\frac{\lambda^3}{4}-p\frac{\lambda^2}{4}-\lambda r +pr=\frac{q^2}{4}$
On obtient donc l'équation vérifiée par $\lambda$ ?
Déjà, cela fonctionne-t-il ?

Je vous remercie.