Ce fil de discussion ne ressemble pas à du etanche classique... peut-être peut-on trouver des conditions à rajouter sur $A$ et $B$ pour que ça marche quand même sans être anodin ? Là on serait davantage dans une question de style etanche, je trouve.
EDIT : par exemple, peut-on trouver deux matrices $A$ et $B$ qui ne commutent pas et qui vérifient les autres hypothèses ? Du coup ça mettrait le contrexemple de Maxtimax en défaut.
Idée simple : si $A+B$ est nilpotente, alors $(A+B)^2$ l'est aussi, donc $\text{tr}((A+B)^2)=0$, d'où $\text{tr}(A^2+B^2)+2\text{tr}(AB)=0$. Pour que $\text{tr}(AB)=0$, il faut donc que $\text{tr}(A^2+B^2)=0$. On peut réécrire ça $\text{tr}(A^2)=-\text{tr}(B^2)$ si on veut, mais je ne sais pas si ça nous avance à grand-chose. Je ne sais pas s'il y a une condition simple sur $A$ et $B$ qui garantit ça.
Si $A$ est trigonalisable, $\Tr(A^2)$ est la somme des carrés des valeurs propres de $A$ donc si [on] est sur $\mathbb{R}$ et que $B$ est aussi trigonalisable, les vp de $A$ et $B$ sont toutes nulles donc $A$ et $B$ sont nilpotentes.
Si $A$ et $B$ sont diagonalisables, $A$ et $B$ sont nulles.
Mais je vois qu'en fait, on est sur $\mathbb{C}$...
Réponses
@amerci à Maxtimax, john john, Homo Topi
EDIT : par exemple, peut-on trouver deux matrices $A$ et $B$ qui ne commutent pas et qui vérifient les autres hypothèses ? Du coup ça mettrait le contrexemple de Maxtimax en défaut.
Trouver d’autres conditions sur A, B dans M(n,C) avec A + B nilpotent implique Tr(AB)=0
Si $A$ et $B$ sont diagonalisables, $A$ et $B$ sont nulles.
Mais je vois qu'en fait, on est sur $\mathbb{C}$...
Je ne sais pas si on peut enlever le $B$ nilpotente ou non...