Unicité de $\R$

Une petite remarque amusante: $\R$ est vraiment bien défini, puisqu'il est unique à unique isomorphisme près (et pas seulement "à isomorphisme près") en tant que corps, disons (ou en tant que corps ordonné, enfin bref, toute structure additionnelle de toute façon doit respecter celle de corps)

Sans extrémité = sans maximum ni minimum, c'est assez parlant quand même.

HT : il en est de même pour $\N,\Z$ et $\Q$ (en tant que semi-anneau, anneau et corps respectivement), ils sont aussi uniques à unique isomorphisme près :-D
C'est ce qui fait qu'ils sont "bien définis", alors que $\C$ ne l'est pas vraiment (enfin plutôt, "l'espace des choses qui méritent le nom $\C$" n'est pas un point, même s'il est connexe; mais ça c'est pour plus tard ;-) )

@Max : Quand tu dis que l'espace des choses qui méritent de s'appeler $\mathbb C$ est connexe, tu parles de l'espace des automorphismes de $\mathbb C$ ? Quelle est la topologie ? Il en est de même de $\overline{\mathbb Q}$ j'imagine.

Je ne sais malheureusement pas ce qu'est un espace classifiant, je vais essayer de comprendre des trucs.

Bonjour,
Bonus : Dans le premier lien Wikipédia donné par Raoul, on apprend que $\Bbb R$ est le seul corps totalement ordonné complet et archimédien. On n'est pas étonné de voir parler de complétude, mais on peut se demander ce qu'il se passe si on oublie l'hypothèse archimédienne. Eh bien elle est nécessaire car il existe des corps totalement ordonnés complets et non archimédiens (donc non isomorphes à $\Bbb R$).

Par exemple, soit $K=\{\sum\limits_{k\geqslant -n} a_k X^k \mid n\in\Bbb N, (a_k)_k\in \Bbb R^{\{-n,-n+1,\dots\}}\}$ le corps des séries formelles de Laurent muni des opérations $+$ et $\times$ naturelles. Munissons-le de l'ordre lexicographique : $$\sum\limits_{k\geqslant -n} a_k X^k <\sum\limits_{k\geqslant -n} b_k X^k \Leftrightarrow \exists m\geqslant n,\; (a_{-n}=b_{-n} )\wedge (a_{-n+1}=b_{-n+1}) \wedge\dots\wedge (a_{m-1}=b_{m-1})\wedge (a_m <b_m).
$$Interprétation : si la série $\sum\limits_{k\geqslant -n} a_k x^k $ converge au voisinage de 0, alors $\sum\limits_{k\geqslant -n} a_k X^k \geqslant 0$ ssi $\sum\limits_{k\geqslant -n} a_k x^k \geqslant 0$ au voisinage de $0^+$.
Alors cet ordre est total et compatible avec les opérations de $K$, donc il fait de $K$ un corps totalement ordonné. Et la convergence pour la topologie de cet ordre est équivalente à la stationnarité à partir d'un certain rang de chaque coordonnée (ce rang dépend de la coordonnée), ce qui permet montrer que $K$ est complet (au sens de "complet" donné dans ce lien Wikipédia).

[édit : dernier paragraphe supprimé]
Mais $\Bbb R$ se plonge dans tout corps totalement ordonné complet, donc l'hypothèse archimédienne est là pour dire que $\Bbb R$ est le plus petit corps totalement ordonné complet.

Donc mon dernier paragraphe est faux. Merci ; j'étais allé trop vite.

Complet d’après moi, mais j’admets avancer un pion sans savoir vraiment jouer 8-)

Merci, c'est exactement ce que je me demandais !

@Dom: bien vu, pour un corps totalement ordonné, on a (entre autres) d'après Wiki équivalence entre d'une part la propriété de la borne supérieure et d'autre part le caractère complet et archimédien.
A minima, les deux constructions classiques de Dedekind et Cantor illustrent vraiment des points de vue complémentaires quant aux propriétés des réels qui nous intéressent.

Je crois qu'au fond pour les gens, après qu'ils aient fait une psychanalyse de cette question, un réel sera toujours l'ensemble des rationnels qui sont strictement plus petits que lui.

Même si $\R$ est un objet robuste, comme ce fil le développer amplement. Je réagis parce que dans un autre fil, sur la théorie quantique, on s'aperçoit qu'une fois avoir "défini" (donc à peine posé le moindre axiome) la "tendance de $x$ à être $y$", on obtient TOUTE la TQ en ajoutant que les valeurs de cette fonction" tendance" sont des nombres complexes.

Il y a quelque chose d'inévitable, je trouve, qui est à creuser (je pars du principe que$\C$ est juste "la sortie de secours" de $\R$, par moment, mais au fond c'est $\R$ qui compte)

Salut GBZM, content de te voir, c'est devenu rare, et oui dans un topos, c'est différent.

En fait ce que je voulais surtout dire, c'est que "les gens de tous les jours" qui "mesurent des choses avec des règles" vont plus encadrer leur nombre réel cherché par des rationnels (et même des décimaux) plutôt que penser à des suites de Cauchy. Dans les topos que tu évoques, il y aura donc deux sortes de peuples :-D selon qu'on a ou pas fait beaucoup de maths.

Maintenant, je suis désolé de porter encore la contradiction à Christophe. Sa mathématique est peut-être excellente dans l'univers rêvé des logisticiens (avec nécessaire intervention du psychanalyste si j'ai bien suivi), mais pour le commun des mortels mathématiciens, un réel ce n'est pas un ensemble de rationnels, c'est un nombre qui a notamment un développement en base dix=9+1, par exemple
$\sqrt 2 \simeq 1,414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990$
$7324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214$
$97099935831413222665927505592755799950501152782060571470109559971605970274534596...$

christophe c et GaBuZoMeu parlent des topos, un sujet mathématique dans lequel cette distinction est pertinente.

logisticiens


PS. on a eu Chaurien... B-)-

La seule fois où j'ai entendu parler de logistique au sens mathématique, cela correspondait à de l'Algèbre.

Après, il est vrai que tout est dans tout, donc si c'est à dessein...

À bientôt.

Effectivement, suivant ce lien , "logistique" et "calcul logique" sont synonymes.

Merci, je ne connaissais pas.

À bientôt.

Non, GBZM, je ne connais pas toutes ces belles choses, c'est bien toi le meilleur et de là-haut GW est fier de toi. Tu es content ?

Pour en revenir aux mathématiques classiques, observons qu'on peut concevoir un corps non commutatif ordonné, mais qu'un corps ordonné archimédien est nécessairement commutatif. Voir : Hilbert, Les fondements de la géométrie, chapitre VI.

Christophe: Pour les corps ordonnés en général je ne crois pas: par exemple prendre un groupe non commutatif totalement ordonné $\mathcal{G}$ et considérer l'anneau des séries formelles à indéterminées dans $\mathcal{G}$, ordonné en regardant le coefficient de la plus grande indéterminée. Il me semble que c'est bien un corps, à vérifier.

https://www.ams.org/journals/proc/1952-003-03/S0002-9939-1952-0047017-7/S0002-9939-1952-0047017-7.pdf

Merci chaurien

@raoul, pour les gens qui n'y connaissent rien aux topos, il suffit de raisonner en logique intuitionniste et essayer de voir ce qui te bloque si tu essaie de prouver qu'il y a un isomorphisme par exemple. Mais attention, TOTALEMENT en logique intuitionniste, pas un mix confortable

@raoul.S : ton intuition est bonne.
Pour prolonger la poésie des "ensembles variant continûment", les suites de Cauchy de rationnels laissent peu de place à la variation, tandis que les coupures de Dedekind dans $\mathbb Q$ se prêtent mieux à une variation continue.

Pour en revenir aux mathématiques classiques, observons qu'on peut concevoir un corps non commutatif ordonné, mais qu'un corps ordonné archimédien est nécessairement commutatif.

Plus généralement, il y a le théorème de Hölder : "Tout groupe totalement ordonné archimédien est commutatif (et isomorphe à un sous-groupe du groupe additif des nombres réels avec son ordre naturel).

P.S. ah, ok, cette première remarque est hors de propos.



Je crois qu'au fond pour les gens, après qu'ils aient fait une psychanalyse de cette question, un réel sera toujours l'ensemble des rationnels qui sont strictement plus petits que lui.

Visiblement les mathématiciens qui font des mathématiques constructives (Errett Bishop, Foundations of Constructive Analysis, Mines, Richman Ruitenburg, A course in Constructive Algebra, Lombardi, Quitté, Algèbre Commutative, par exemple) sont tous très mauvais en psychanalyse car pour eux, la définition des réels par sections commençantes ouvertes de rationnels est du non-sens. Ils les définissent TOUS comme constructions de suites de Cauchy de rationnels ! :-)