Densité et matrices
Bonjour,
Je viens de voir la définition suivante :
Soit $A$ une partie de $E$. Une partie $D$ de $A$ est dite dense dans $A$ si l'une des 3 propriétés suivantes est vérifiée :
(i) L'adhérence de $D$ contient $A$.
(ii) Pour tout $a \in A$, et pour tout $r>0$, il existe $x \in D$ tel que $||x-a|| \leq r$
(iii) Pour tout $a \in A$, il existe une suite d'éléments de $D$ qui converge vers $a$.
Dans un cours sur internet, il donnent comme définition $\bar{D}=A$ pourquoi ici on a seulement l'inclusion :-S
Par la suite, je ne comprends pas l'exemple suivant.
L'ensemble $\mathcal GL_n(\K)$ est dense dans $\mathcal M_n(\K)$. En effet, toute matrice $A \in \mathcal M_n(\K)$ est limite de la suite $(A_k)=(A-2^{-k} I_n)$ dont tous les termes à partir d'un certain rang sont inversibles puisque $A$ admet un nombre fini de valeurs propres.
Je viens de voir la définition suivante :
Soit $A$ une partie de $E$. Une partie $D$ de $A$ est dite dense dans $A$ si l'une des 3 propriétés suivantes est vérifiée :
(i) L'adhérence de $D$ contient $A$.
(ii) Pour tout $a \in A$, et pour tout $r>0$, il existe $x \in D$ tel que $||x-a|| \leq r$
(iii) Pour tout $a \in A$, il existe une suite d'éléments de $D$ qui converge vers $a$.
Dans un cours sur internet, il donnent comme définition $\bar{D}=A$ pourquoi ici on a seulement l'inclusion :-S
Par la suite, je ne comprends pas l'exemple suivant.
L'ensemble $\mathcal GL_n(\K)$ est dense dans $\mathcal M_n(\K)$. En effet, toute matrice $A \in \mathcal M_n(\K)$ est limite de la suite $(A_k)=(A-2^{-k} I_n)$ dont tous les termes à partir d'un certain rang sont inversibles puisque $A$ admet un nombre fini de valeurs propres.
Réponses
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Bonjour
Tu as un gros problème avec les maths. Tout est dit et tu ne comprends pas, que peut-on dire de plus?
Par ailleurs dire que l'adhérence de D contient A ce n'est pas faux mais c'est lourd.
Effectivement, je me suis trompé.
P.S Par moment, vu tes questions saugrenues, je me demande si tu ne le fais pas exprès.
Mais si ce n'est pas le cas, je pense que tu devrais prendre le courage de mettre en détail ce que tu ne comprends pas.
Au moins tu te fatigueras autant que ceux qui passent le temps à t'expliquer des évidences. -
Je ne comprends toujours pas pourquoi l'adhérence de D est incluse dans A.
Pour la fin quel rapport entre le nombre de valeurs propres et l'inversibilite ? -
Des deux inclusions $\bar{D} \subset A$ et $A \subset \bar{D}$, l'une est évidente et toujours vraie mais pas l'autre.
A toi de voir laquelle et pourquoi en te demandant ce qu'est $\bar{D}$ par définition.
Il n'y qu'un nombre fini de valeur propre et la suite $(2^{-k})_k$ est infinie (ie d'image de cardinal infinie) donc pour $k$ assez grand, on est certain que $2^{-k}$ n'est plus jamais valeur propre. -
Pour ta deuxième question, écris la définition de valeur propre et souviens-toi de la caractérisation de l'inversibilité d'une matrice par la valeur de son déterminant.
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Cher O Shine on peut en effet avoir $\overline{D}\supset A$ avec $\overline{D}\neq A.$ En effet l'enonce parle tres certainement de la fermeture de $D$ au sens de la topologie de $E$ et non au sens de celle induite sur $A.$ Un exemple? Heu : $D$ les nombres decimaux, $A$ les rationnels, $E$ les reels, et donc $\overline{D}=E\neq A.$
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La définition qui donne $\bar{D}=A$ est fausse en général, car elle implique que $A$ soit fermé.
Par exemple, l'ensemble des décimaux est dense dans l'ensemble des rationnels, mais l'adhérence des décimaux est $\R$.
La bonne définition est $D\subset A \subset \bar{D}$. -
bd2017 (à propos de Oshine) a écrit:Tu as un gros problème avec les maths.
Je crois savoir qu'Oshine a fait deux années de prépa au terme desquelles il a intégré une école d'ingénieurs. Il faisait donc probablement partie des meilleurs en maths de sa classe de terminale.
L'année dernière, il a été reçu au CAPES. Cela signifie qu'un jury composé d'universitaires, de profs de prépa, d'inspecteurs l'a jugé apte à enseigner la spé maths et les maths expertes en terminale.Liberté, égalité, choucroute. -
bisam : je me disais aussi qu'il y a un truc qui ne colle pas avec cette histoire d'inclusion... il ne faut pas l'inciter à démontrer des choses fausses, il a déjà du mal à démontrer des choses simples.
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Rebonjour
Effectivement je n'ai pas fait attention à ce que A n'est qu'une partie de E, donc la bonne définition c'est bien$A\subset \bar{D}$ et pardon pour mon erreur.
Maintenant théoriquement le Capes est octroyé à ceux qui sont capables d'enseigner correctement de la 6ème jusque spé-math et les maths expertes en terminale (c'est ce que je croyais il y a un certain temps).
Mais cela n'est que théorique; en effet certains sur ce forum m'ont expliqué que ce n'est plus le cas actuellement.
C'est à dire qu'on peut avoir le Capes et ne pas savoir résoudre une petite inéquation avec une valeur absolue, ne pas savoir placer le barycentre de 2 points (même avec des poids positifs) ne pas savoir construire la somme de 2 vecteurs et même ne pas avoir un petit niveau de L1. -
La topologie ça m'a l'air ardu et bien plus dur que ce que j'avais étudié dans le livre de MPSI.
Merci pour vos réponses, mais je ne vois pas comment démontrer que l'adhérence des décimaux vaut $\R$.
@Ramufasa
@Alexique
Je ne vois pas comment déterminer le déterminant de $A_k$ ni comment montrer qu'il est non nul :-S -
Et bien, tu peux écrire la définition de valeur propre et écrire le résultat liant inversibilité du déterminant et nullité du déterminant. Tu devrais alors remarquer quelque chose.
-
La topologie, en général, ce n'est pas quelque chose de simple. Le cas des espaces vectoriels normés est le plus simple, puisqu'un espace vectoriel est plus maniable qu'un ensemble abstrait... remarque, pour toi ça serait peut-être l'inverse, parce que plus il y a d'hypothèses, plus tu t'y perds. Le problème vient sûrement du fait que tu apprends beaucoup sans vraiment comprendre, et ça te retient en arrière pour beaucoup de choses.
Pour ce qui est de l'adhérence des décimaux : il faudrait qu'un jour, tu lises un truc sur la construction de $\R$ (typiquement, la construction par suites de Cauchy de rationnels). C'est bon pour la culture mathématique, et c'est très formateur pour manipuler $\R$ plus aisément après (ce qui est légèrement utile quand on travaille avec des espaces vectoriels réels, des matrices à coefficients réels, des polynômes à coefficients réels, des fonctions réelles, des suites réelles, des normes et des distances à valeurs réelles... je continue ? :-D). L'idée c'est que tout nombre réel possède un (unique) développement décimal, donc c'est une limite de nombres décimaux : par exemple $\pi$ est la limite de la suite de décimaux $3$ ; $3,1$ ; $3,14$ ; $3,141$ ; $3,1415$ etc. L'idée en soi est toute simple, mais elle ne se démontre qu'en construisant $\R$, d'où l'intérêt que tu te renseignes dessus. Beaucoup d'étudiants voient ça en L1, mais ce n'est pas enseigné de façon universelle. A mon sens, ça devrait...
Sinon, pour le truc du déterminant : tu es bien d'accord que ta matrice $A$, elle n'a qu'un nombre fini de valeurs propres ? Une valeur propre, pour rappel, c'est un zéro de $\det(A-\lambda I_n)$, donc, on sait qu'il n'y a qu'un nombre fini de nombres $\lambda$ tels que $\det(A-\lambda I_n)=0$. Alors si on construit la suite des $(A-2^{-k}I_n)_k$, c'est obligatoire qu'il n'y en a qu'un nombre fini telles que $\det(A-2^{-k} I_n)=0$, non ? Et les autres, ben, quand le déterminant est non nul... -
OShine a écrit:je ne vois pas comment démontrer que l'adhérence des décimaux vaut $\R$
Soit $x\in\R$ et $n\in \N$ : est-ce que le nombre $10^{-n}\lfloor 10^n x\rfloor$ t'inspire ?Ramon Mercader a écrit:
L'année dernière, il a été reçu au CAPES. Cela signifie qu'un jury composé d'universitaires, de profs de prépa, d'inspecteurs l'a jugé apte à enseigner la spé maths et les maths expertes en terminale.bd2017 (à propos de Oshine) a écrit:Tu as un gros problème avec les maths.
@Ramon Mercader depuis que je lis le sous-forum "Pédagogie, enseignement, orientation" il me semble que l'un n'empêche pas l'autre B-)-. -
@Homo Topi
Ok merci je ne l'avais pas vu sous cet angle.
Soit $A_k = A- \dfrac{1}{2^k} I_n$
$\lambda$ est valeur propre de $A_k$ si et seulement si $\chi_A(\lambda)=\det(A_k - \lambda I_n)=0$
$\lambda$ est valeur propre de $A_k$ si et seulement si il existe $X$ non nul dans $\mathcal M_{n1}(\R)$ tel que $A_k X= \lambda X$
@Raoul.S
Soit $x \in \R$.
Soit $u_n= 10^{-n} E(10^n x)$. Alors $u$ est une suite d'éléments de l'ensemble des décimaux car $E(10^n x) \in \N$
On a $10^n x -1 < E(10^n x) \leq 10^n x$ donc $x-10^{-n} < u_n \leq x$
Par passage à la limite, comme $10^{-n} \longrightarrow 0$ alors $u$ converge vers $x$.
On a montré que pour tout réel $x$, il existe une suite d'éléments des décimaux qui converge vers $x$. Donc l'adhérence de l'ensemble des nombres décimaux est égal à $\R$. -
Ramon a écrit:L'année dernière, il a été reçu au CAPES. Cela signifie qu'un jury composé d'universitaires, de profs de prépa (...)
Tu confonds avec l'agreg. Au CAPES, les universitaires et profs de prépa sont en proportion epsilonesque dans le jury. Par contre, une bonne partie du jury est constituée d'IPR. -
Tu t'y prends mal :
$2^{-k}$ est une valeur propre de $A$ si, et seulement si, $\det(A - 2^{-k}I_n)=0$. On sait qu'il n'y a qu'un nombre fini de valeurs propres de $A$ (en tout cas, tu ne contestes pas cette partie-là du raisonnement, je suppose que tu es donc d'accord).
$A - 2^{-k}I_n$, c'est $A_k$. Donc $2^{-k}$ est une valeur propre de $A$ si, et seulement si, $\det(A_k)=0$. Les valeurs propres des $A_k$, on s'en fiche, elles sont hors-sujet ici.
En recoupant les deux informations : combien y a-t-il de $A_k$ inversibles ? -
Dans un espace vectoriel de dimension $n$ il y a au plus $n$ valeur propres car le polynôme caractéristique est de degré $n$.
S'il avait plus de $n$ racines, il serait nul.
Il y a un nombre infini de $A_k$ inversibles. -
Justement. On est bien d'accord que la suite $(A_k)_k$ tend vers $A$ ?
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Oui car $2^{-k}$ tend vers $0$ quand $k$ tend vers plus l'infini.
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Donc on est d'accord que $A$ est limite d'une suite de matrices inversibles ?
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Oui.
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Alors l'exercice est résolu :-)
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@OS: bon évidemment, je n'ai pas lu autre chose que ton premier post, mais quand tu lis:$<<GL_n $ est dense dans $M_n>>$et que tu te demandes pourquoi, je t'indique ce que font les experts :
contrairement à toi, ils ne pensent pas aux valeurs propres (tu parles d'un corps $K$), mais au POLYNOME qu'est le déterminant.
Sa nullité sur un petit ouvert non vide, le redrait "fonction constante nulle".
Or $\forall A: [\det(A)\neq 0\iff A$ inversible$]$, comme tu "sais par cœur" :-D
Je t'invite à prouver l'affirmation italique. vraie à propos de N'IMPORTE QUEL POLYNÔMEAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Christophe C si un polynôme est nul sur un ouvert de la forme $]-r,r[$ avec $r>0$ il possède une infinité de racine, il est donc nul.
-
@OShine: Ici le $\det$ est un polynôme à $n^2$ indéterminées correspondant chacune aux entrées des matrices, selon la formule avec la somme sur les permutations de $n$. En plusieurs indéterminées, l'existence d'une infinité de racines ne suffit pas (prendre le polynôme $X_1-X_2$). J'ai aussi l'impression que Christophe se place sur un corps quelconque mais cela demande de préciser la topologie et à mon avis il vaut mieux se concentrer sur le cas des réels ou complexes.
Un énoncé lié est que si un polynôme à $n$ indéterminées sur un anneau intègre $R$ (infini) s'annule sur le produit $E_1 \times E_2 \times \cdot \cdot \cdot E_n$ où les $E_k$ sont des sous-ensembles infinis de $R$, alors le polynôme est nul. L'idée de la preuve est de procéder par récurrence en voyant $R[X_1,...,X_n]$ comme $R[X_1,...,X_{n-1}][X_n]$ et en utilisant l'argument "une infinité de racines $\Rightarrow$ polynôme nul" dans le cas de polynômes à une indéterminée.
Il n'est pas dit que c'était ce à quoi Christophe pensait après. -
@OS: polynômes de plusieurs variables.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Sauf que je n'ai jamais étudié les polynômes à plusieurs variables, donc je n'y comprends pas grand chose.
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Juste pour information: justement, les polynômes à plusieurs indéterminées sont des polynômes classiques... sur un anneau de polynômes. Du moins c'est une vision pertinente pour en algèbre.
$A$: anneau --> $A[X]$: anneau ou algèbre de polynômes
$A[X]$: anneau --> $A[X,Y] := (A[X])[Y]$: anneau de "polynômes à plusieurs indéterminées". -
OShine : à chaque fois que tu dis "je n'ai jamais étudié [...]", chacun d'entre nous pense, dans sa tête, "alors profite du fait qu'on t'ait donné une raison de l'étudier et étudie-le maintenant"...
-
Une définition de l'anneau $A[X,Y]$ est que c'est l'anneau des polynômes - dont l'indéterminée est ici notée $Y$ - à coefficients dans l'anneau $A[X]$. Ce qu'on peut noter $A[X,Y]=A[X][Y]$. Par exemple $XY^2-2X^2 Y^2+XY+X^2+1 \in \mathbb{Z}[X,Y]$ peut s'identifier avec le polynôme $(X-2X^2) Y^2 + X Y + (X^2+1)$ dont les coefficients pour les degrés respectifs $2$, $1$ et $0$ sont $X-2X^2$, $X$ et $X^2+1$.
Je signalais juste ça parce que l'énoncé que je proposais se démontrait sans utiliser d'autres propriétés que celles directement déductibles de la définition (ou de l'isomorphisme naturel) $R[X_1,...,X_n]=R[X_1,...,X_{n-1}][X_n]$, et donc ne nécessitait pas de connaissances poussées en algèbre commutative ou géométrie.
Mais ce n'était pas une injonction morale (!), comme quoi il faudrait pour ton bien que tu étudies ceci ou cela. -
Ok merci je vois le principe de l'anneau $A[X][Y]$, mais il faudrait que j'étudie ça plus en profondeur.
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