odile0502 : je te pose une question similaire et tu me dis ce que tu en penses :
"Soit $X$ un ensemble. Alors le groupe trivial agit dessus. Mais pourquoi fait-on agir le groupe trivial, qui est un quotient de $SL_4(\mathbb Z)$, et pas $SL_4(\mathbb Z)$ lui-même ?"
Bon, si $G$ agit sur $X$ naturellement, et que l'action se factorise par $G/H$, on préfère souvent (pas toujours ! ça dépend de si on est intéressé par $G$ ou par $X$ :-D et d'autres facteurs) simplement regarder l'action de $G/H$ : ce dernier est plus petit, on peut faire plus de choses avec etc. En gros c'est juste qu'en disant "une action de $G/H$", tu as plus d'informations qu'en disant "une action de $G$" : dans le premier cas, tu as la même information que le second + le fait que $H$ agit trivialement.
Je me rends compte en le lisant que c'est un cours comme ton exposé qui me manque.
Étant en reprise d' études, je suis un électron libre. Je viens d'avoir le capes en candidat libre. Je travaille les notions en piochant des cours sur internet style le site " Bibmaths" mais ce n'est pas suffisant.
Puis-je te demander 2 choses.
1) Connais-tu un cours aussi superbe que ton exposé, sur les actions de groupes ?
2) Qu' entends-tu par groupe trivial ?
Merci.
1) Je ne connais pas vraiment de cours à ce sujet spécifiquement, malheureusement.
Il y a un cours sur le site, il y a aussi la page wikipedia qui a l'air relativement complète à ce sujet; et finalement il y a la manière dont j'ai appris les actions de groupes, via la partie II du problème 2 de ce dm d'Alain Troesch (bon, ce n'est pas exactement celui-là que j'avais eu, mais c'est pas loin).
2) Le groupe trivial est l'unique groupe à un élément (unique à unique isomorphisme près) : sa multiplication est définie par $1\cdot 1 = 1$ :-D
Math Coss a tout à fait raison, et tout le monde peut profiter des documents d'Alain Troesch, que ce dernier enseigne à LLG ou pas ne change pas leur qualité.
Bonjour
Je pense que vous avez mal interprété mon propos.
J'ai dû mal m' exprimer, excusez-moi.
Ce n'est pas parce que je félicite Maxtimax que je ne félicite pas les autres !
Comme c'est Maxtimax qui a pris du temps pour moi en postant une réponse longue et détaillée, c'est donc normal que je le remercie et le félicite, LUI !
Mais je vous apprécie tous bien-sûr. Heureusement que vous êtes là pour nous aider sur le forum même si on vous pose des questions qui doivent vous sembler niaises (2-3 d'entre vous ne répondent pas tjstoujours de manière très cool à un certain OShine, j' ai lu sur le forum).
[En typographie, on ne met jamais d'espace avant un point ou une virgule, mais toujours après. ;-) AD]
Vrai : Maxtimax mériterait que chaque participant.e du forum consacre 10 à 20 % de son temps éveillé à le remercier. Cependant, comme ça ne se fait pas en général, c'est une bonne chose que ça arrive de temps en temps quand même.
Un de nos professeurs nous a dit de ne pas prendre peur devant les ensembles quotients
Il nous dit que dans la pratique , on ne se dit pas " ah , je travaille avec un ensemble de classes d'équivalence mais plutôt je travaille avec un ensemble où les éléments de l'ensemble par lequel je quotiente sont négligeables "
Il rajoute enfin qu'un ensemble quotient doit s'interpréter comme " je fais mes calculs dans l'ensemble de départ modulo les éléments de l'ensemble par lequel je quotiente "
Pouvez-vous m'expliquer concrètement comment adapter ce raisonnement au groupe PSL(2;R) , quotient de SL(2;R) par {-Id;Id} ?
C'est très simple. Travailler dans $\mathrm{PSL}_2(\mathbb R)$, c'est comme travailler avec des éléments de $\mathrm{SL}_2(\mathbb R)$, et faire "comme si" $A=-A$.
Rien à voir avec l'action sur le demi-plan de Poincaré (même si ce que tu dis est correct). Je te décris simplement comment on procède pour faire des opérations dans le quotient. La classe d'équivalence de $A \in \mathrm{SL}_2(\mathbb R)$ est $\{A, -A\}$. Comme il est peu intuitif d'écrire des calculs comme $$\{A, -A\} \times \{B, -B\}$$ ou encore $$A\{I_2, -I_2\} \times B\{I_2, -I_2\}$$, on préférera en pratique calculer $A \times B$, et de penser les éléments de $\mathrm{PSL}_2(\mathbb R) = \mathrm{SL}_2(\mathbb R)/\{I_2, -I_2\}$ comme des éléments de $\mathrm{SL}_2(\mathbb R)$ (des matrices donc) qu'on identifie à leurs opposés.
Il s'agit du même travail mental que celui qui te permet d'identifier 7 h (du soir) et 19 h, de trouver 4 h comme heure d'arriver si tu fais la fête pendant 9 h à partir de 19 h, etc. Tu manipules en vérité des éléments de $\Z/12\Z$ mais tu les désignes avec un représentant quelconque, consciente que s'il te faut changer de représentant (parce que c'est plus commode pour un calcul ou parce que tu veux comparer deux éléments), c'est possible à tout instant.
Ok . Je comprends ce que vous dites mais j'ai encore du mal à faire ce travail mental dont parle Math Coss
Excusez moi de revenir au demi-plan de Poincaré que je vais noter H mais je suis dans le cours des isométries hyperboliques
Il est dit dans mon cours que l'action de GL+(2;R) agit sur H c'est à dire les matrices de déterminant strictement supérieur à 0
et que le noyau de cette action est Z( indice R) et là je ne comprends pas
Si $g=\left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right)$ est une matrice réelle inversible et $z\in H$, on apprend dans le Cours d'arithmétique de Jean-Pierre Serre (VII.1.1 ; on le vérifie facilement) que \[
\Im(g\cdot z)=\Im\frac{az+b}{cz+d}=\frac{ad-bc}{|cz+d|^2}\Im z.\]Tu vois bien que si $\det g>0$, alors $g\cdot z\in H$. Le fait que $g\cdot(h\cdot z)=(gh)\cdot z$ est une vérification formelle que tu as déjà faite pour $\mathrm{SL}(2,\Z)$ ou $\mathrm{SL}(2,\R)$, de même que $\mathrm{I}_2\cdot z=z$ pour tout $z$.
Le noyau de l'action est formé des $g$ tels que $g\cdot z=z$ pour tout $z$ de $H$, c'est-à-dire $az+b=cz^2+dz$ pour tout $z$. Il est équivalent de dire que $c=b=0$ et $a=d$, c'est-à-dire que $g=a\mathrm{I}_2$. C'est le centre du groupe $\mathrm{GL}^+(2,\R)$, d'où sans doute la notation avec un $Z$.
Je reviens sur cette manipulation des éléments d'un quotient. On fait deux types d'opérations inverses dans la vie courante pour parler des gens :
désigner un individu particulier par la catégorie sociale à laquelle il appartient, censée expliquer son comportement : par exemple, l'attribution de surnoms (Tondu ou La Guille dans Les Six Compagnons) ou les insultes fonctionnent souvent comme ça (« Voleur, rends-moi mon téléphone ! » ; « Il est où, l'ectoplasme ? ») ; dans le même esprit, les noms que tu donnes à ta fille ne suffisent pas à la caractériser (par exemple, « Alice » ou « ma grande » la font rentrer dans la classe de toutes les Alice et évidemment, ce n'est pas la seule grande fille ; )
à l'inverse, on choisit un individu qui incarne un archétype : l'Argan du Malade imaginaire est un hypocondriaque « générique » ; au fond, en parlant de Romain Faubert, on dirait la même chose.
Tout ça pour dire que c'est une histoire de noms. On veut parler de la classe d'équivalence mais il est souvent plus commode de la désigner par un élément particulier tout en se rappelant que cela n'est pas la seule désignation possible.
Plus pertinent sans doute, un peu de lecture : « Égalité ».
Réponses
Mais que ce soit SL(2;R) ou PSL(2;R) ce sera des homographies quand même ?
Ou je n'ai rien compris au cours ?
"Soit $X$ un ensemble. Alors le groupe trivial agit dessus. Mais pourquoi fait-on agir le groupe trivial, qui est un quotient de $SL_4(\mathbb Z)$, et pas $SL_4(\mathbb Z)$ lui-même ?"
Bon, si $G$ agit sur $X$ naturellement, et que l'action se factorise par $G/H$, on préfère souvent (pas toujours ! ça dépend de si on est intéressé par $G$ ou par $X$ :-D et d'autres facteurs) simplement regarder l'action de $G/H$ : ce dernier est plus petit, on peut faire plus de choses avec etc. En gros c'est juste qu'en disant "une action de $G/H$", tu as plus d'informations qu'en disant "une action de $G$" : dans le premier cas, tu as la même information que le second + le fait que $H$ agit trivialement.
Je me rends compte en le lisant que c'est un cours comme ton exposé qui me manque.
Étant en reprise d' études, je suis un électron libre. Je viens d'avoir le capes en candidat libre. Je travaille les notions en piochant des cours sur internet style le site " Bibmaths" mais ce n'est pas suffisant.
Puis-je te demander 2 choses.
1) Connais-tu un cours aussi superbe que ton exposé, sur les actions de groupes ?
2) Qu' entends-tu par groupe trivial ?
Merci.
1) Je ne connais pas vraiment de cours à ce sujet spécifiquement, malheureusement.
Il y a un cours sur le site, il y a aussi la page wikipedia qui a l'air relativement complète à ce sujet; et finalement il y a la manière dont j'ai appris les actions de groupes, via la partie II du problème 2 de ce dm d'Alain Troesch (bon, ce n'est pas exactement celui-là que j'avais eu, mais c'est pas loin).
2) Le groupe trivial est l'unique groupe à un élément (unique à unique isomorphisme près) : sa multiplication est définie par $1\cdot 1 = 1$ :-D
Je vois que tu es à Louis le Grand , le top du top!
Félicitations
Merci d'avoir pris du temps pour moi:-)
Je pense que vous avez mal interprété mon propos.
J'ai dû mal m' exprimer, excusez-moi.
Ce n'est pas parce que je félicite Maxtimax que je ne félicite pas les autres !
Comme c'est Maxtimax qui a pris du temps pour moi en postant une réponse longue et détaillée, c'est donc normal que je le remercie et le félicite, LUI !
Mais je vous apprécie tous bien-sûr. Heureusement que vous êtes là pour nous aider sur le forum même si on vous pose des questions qui doivent vous sembler niaises (2-3 d'entre vous ne répondent pas tjs toujours de manière très cool à un certain OShine, j' ai lu sur le forum).
[En typographie, on ne met jamais d'espace avant un point ou une virgule, mais toujours après. ;-) AD]
PS. faire un autel mode d'emploi :
Un de nos professeurs nous a dit de ne pas prendre peur devant les ensembles quotients
Il nous dit que dans la pratique , on ne se dit pas " ah , je travaille avec un ensemble de classes d'équivalence mais plutôt je travaille avec un ensemble où les éléments de l'ensemble par lequel je quotiente sont négligeables "
Il rajoute enfin qu'un ensemble quotient doit s'interpréter comme " je fais mes calculs dans l'ensemble de départ modulo les éléments de l'ensemble par lequel je quotiente "
Pouvez-vous m'expliquer concrètement comment adapter ce raisonnement au groupe PSL(2;R) , quotient de SL(2;R) par {-Id;Id} ?
Merci beaucoup
A=-A car l'action de SL(2;R) sur le demi-plan de Poincaré donne le même résultat qu'on fasse agir -Id ou Id
C'est cela ?
Excusez moi de revenir au demi-plan de Poincaré que je vais noter H mais je suis dans le cours des isométries hyperboliques
Il est dit dans mon cours que l'action de GL+(2;R) agit sur H c'est à dire les matrices de déterminant strictement supérieur à 0
et que le noyau de cette action est Z( indice R) et là je ne comprends pas
Merci
\Im(g\cdot z)=\Im\frac{az+b}{cz+d}=\frac{ad-bc}{|cz+d|^2}\Im z.\]Tu vois bien que si $\det g>0$, alors $g\cdot z\in H$. Le fait que $g\cdot(h\cdot z)=(gh)\cdot z$ est une vérification formelle que tu as déjà faite pour $\mathrm{SL}(2,\Z)$ ou $\mathrm{SL}(2,\R)$, de même que $\mathrm{I}_2\cdot z=z$ pour tout $z$.
Le noyau de l'action est formé des $g$ tels que $g\cdot z=z$ pour tout $z$ de $H$, c'est-à-dire $az+b=cz^2+dz$ pour tout $z$. Il est équivalent de dire que $c=b=0$ et $a=d$, c'est-à-dire que $g=a\mathrm{I}_2$. C'est le centre du groupe $\mathrm{GL}^+(2,\R)$, d'où sans doute la notation avec un $Z$.
J'étais arrivée jusqu' au bout mais je n'avais pas fait la relation avec le centre et Z.
:-)
- désigner un individu particulier par la catégorie sociale à laquelle il appartient, censée expliquer son comportement : par exemple, l'attribution de surnoms (Tondu ou La Guille dans Les Six Compagnons) ou les insultes fonctionnent souvent comme ça (« Voleur, rends-moi mon téléphone ! » ; « Il est où, l'ectoplasme ? ») ; dans le même esprit, les noms que tu donnes à ta fille ne suffisent pas à la caractériser (par exemple, « Alice » ou « ma grande » la font rentrer dans la classe de toutes les Alice et évidemment, ce n'est pas la seule grande fille ; )
- à l'inverse, on choisit un individu qui incarne un archétype : l'Argan du Malade imaginaire est un hypocondriaque « générique » ; au fond, en parlant de Romain Faubert, on dirait la même chose.
Tout ça pour dire que c'est une histoire de noms. On veut parler de la classe d'équivalence mais il est souvent plus commode de la désigner par un élément particulier tout en se rappelant que cela n'est pas la seule désignation possible.Plus pertinent sans doute, un peu de lecture : « Égalité ».