Action de groupes

Odile0502: Il me semble que les transformations du demi-plan de Poincaré sont des homographies.

Tu devrais regarder à quoi correspond l'homographie associée à $-\mathrm{I}_2$.

Math Coss a tout à fait raison, et tout le monde peut profiter des documents d'Alain Troesch, que ce dernier enseigne à LLG ou pas ne change pas leur qualité.

Vrai : Maxtimax mériterait que chaque participant.e du forum consacre 10 à 20 % de son temps éveillé à le remercier. Cependant, comme ça ne se fait pas en général, c'est une bonne chose que ça arrive de temps en temps quand même.

Il s'agit du même travail mental que celui qui te permet d'identifier 7 h (du soir) et 19 h, de trouver 4 h comme heure d'arriver si tu fais la fête pendant 9 h à partir de 19 h, etc. Tu manipules en vérité des éléments de $\Z/12\Z$ mais tu les désignes avec un représentant quelconque, consciente que s'il te faut changer de représentant (parce que c'est plus commode pour un calcul ou parce que tu veux comparer deux éléments), c'est possible à tout instant.

Si $g=\left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right)$ est une matrice réelle inversible et $z\in H$, on apprend dans le Cours d'arithmétique de Jean-Pierre Serre (VII.1.1 ; on le vérifie facilement) que \[
\Im(g\cdot z)=\Im\frac{az+b}{cz+d}=\frac{ad-bc}{|cz+d|^2}\Im z.\]Tu vois bien que si $\det g>0$, alors $g\cdot z\in H$. Le fait que $g\cdot(h\cdot z)=(gh)\cdot z$ est une vérification formelle que tu as déjà faite pour $\mathrm{SL}(2,\Z)$ ou $\mathrm{SL}(2,\R)$, de même que $\mathrm{I}_2\cdot z=z$ pour tout $z$.

Le noyau de l'action est formé des $g$ tels que $g\cdot z=z$ pour tout $z$ de $H$, c'est-à-dire $az+b=cz^2+dz$ pour tout $z$. Il est équivalent de dire que $c=b=0$ et $a=d$, c'est-à-dire que $g=a\mathrm{I}_2$. C'est le centre du groupe $\mathrm{GL}^+(2,\R)$, d'où sans doute la notation avec un $Z$.

Je reviens sur cette manipulation des éléments d'un quotient. On fait deux types d'opérations inverses dans la vie courante pour parler des gens :

• désigner un individu particulier par la catégorie sociale à laquelle il appartient, censée expliquer son comportement : par exemple, l'attribution de surnoms (Tondu ou La Guille dans Les Six Compagnons) ou les insultes fonctionnent souvent comme ça (« Voleur, rends-moi mon téléphone ! » ; « Il est où, l'ectoplasme ? ») ; dans le même esprit, les noms que tu donnes à ta fille ne suffisent pas à la caractériser (par exemple, « Alice » ou « ma grande » la font rentrer dans la classe de toutes les Alice et évidemment, ce n'est pas la seule grande fille ; )
• à l'inverse, on choisit un individu qui incarne un archétype : l'Argan du Malade imaginaire est un hypocondriaque « générique » ; au fond, en parlant de Romain Faubert, on dirait la même chose.

Tout ça pour dire que c'est une histoire de noms. On veut parler de la classe d'équivalence mais il est souvent plus commode de la désigner par un élément particulier tout en se rappelant que cela n'est pas la seule désignation possible.

Plus pertinent sans doute, un peu de lecture : « Égalité ».