Pgcd dans les corps finis

Blanc
Blanc
dans Algèbre
Bonjour
J'aimerais savoir comment on peut calculer à la main le PGCD de deux polynômes dans les corps finis.
Si nous nous plaçons dans F11 comment calculer à la main le pgcd de X^6+7 et de X^5+3X+1 ?

En vous remerciant.

Réponses

  • hunter**
    hunter**
    On cherche le plus grand polynôme (au sens du degré ) divisant les 2 comme produit des (x-xi) ou xi est une racine des 2 polynômes.
  • raoul.S
    raoul.S
    L'anneau $\mathbb{F}[X]$ étant euclidien (il possède une division) on peut appliquer l'algorithme d'Euclide.
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Tu as besoin des tables des quatre opérations dans $\mathbb{F}_{11}$, ce qui ne devrait pas être trop difficile.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Math Coss
    Math Coss
    En $X^6+7$, combien de fois $X^5+3X+1$ ? Il y va $X$ fois et \[
    X^6+7-X(X^5+3X+1)=-3X^2-X+7.\] On cherche donc le pgcd de $X^5+3X+1$ et $-3X^2-X+7$. En $X^5+\cdots$, combien de fois $-3X^2$ ? Il y va $\frac1{-3}X^3=-4X^3$ (car $3\times4=1$ dans $\mathbb F_{11}$) et \[
    X^5+3X+1+4X^3(-3X^2-X+7)=\text{etc.}\]
  • Guego
    Guego
    Si vous voulez vérifier vos calculs, le résultat final est $X^2+4X+5$ (d'après sage).
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