Matrice échelonnée et rang

Blanc · June 2021

Bonjour
Le cours me dit que le rang d'une matrice est le nombre de lignes non nulles de la matrice échelonnée obtenue à partir d'une matrice donnée. Or si l'on suit l'exemple suivant le nombre de lignes non nulles de la matrice échelonnée obtenue à partir de la matrice de droite est 4. Or le rang de la matrice de droite est 3. Les coefficients sont dans F2.

Merci de me dire ce qu'il en est. 124382

Guego · June 2021

Deux matrices équivalentes ont forcément le même rang. Il doit y avoir une erreur dans une des deux matrices.

Maxtimax · June 2021

Ou bien tu as fait une erreur dans ton calcul de rang, ou bien dans ton échelonnage.

On ne peut pas trop te dire où est l'erreur sans que tu montres tes calculs , mais je suis d'accord avec ton calcul de rang.

Blanc · June 2021

J'ai revérifié avec un autre logiciel, je trouve la même matrice échelonnée.

[Utilisateur supprimé] · June 2021

Calculs faits, les deux matrices sont bien équivalentes, donc je pense aussi que c'est le calcul du rang de la matrice de départ (à droite) qui est faux.

EDIT: oui, on est d'accord. Mais comment le calcul du rang de la matrice de droite a-t il été effectué ?

Guego · June 2021

sage: A=Matrix(GF(2),[[0,0,0,1,1],[0,1,0,1,1],[0,1,1,0,1],[0,0,0,1,1],[0,0,1,1,0]])

sage: A
[0 0 0 1 1]
[0 1 0 1 1]
[0 1 1 0 1]
[0 0 0 1 1]
[0 0 1 1 0]

sage: A.rank()
3

sage: A.echelon_form()
[0 1 0 0 0]
[0 0 1 0 1]
[0 0 0 1 1]
[0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0]

Math Coss · June 2021

Rions un peu.

sage: A = Matrix(5,5,[0,0,0,1,1,0,1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,0,1,1,0,0,1,1,0])
sage: A
[0 0 0 1 1]
[0 1 0 1 1]
[0 1 1 0 1]
[0 0 0 1 1]
[0 0 1 1 0]
sage: A.rank()
4
sage: A.change_ring(FiniteField(2)).rank()
3
sage: A.echelon_form()
[0 1 0 0 0]
[0 0 1 0 1]
[0 0 0 1 1]
[0 0 0 0 2]
[0 0 0 0 0]
sage: A.change_ring(FiniteField(2)).echelon_form()
[0 1 0 0 0]
[0 0 1 0 1]
[0 0 0 1 1]
[0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0]

[Utilisateur supprimé] · June 2021

Ah, et ben voilà une explication claire.
Back to school.

Maxtimax · June 2021

Je n'avais pas compris qu'il s'agissait d'un calcul par logiciel :-D
Merci MathCoss d'avoir sauvé les maths, mais surtout les logiciels de calcul ;-)

Math Coss · June 2021

My pleasure. Poursuivons.

sage: A.right_kernel()
Free module of degree 5 and rank 1 over Integer Ring
Echelon basis matrix:
[1 0 0 0 0]
sage: A.change_ring(QQ).right_kernel()
Vector space of degree 5 and dimension 1 over Rational Field
Basis matrix:
[1 0 0 0 0]
sage: A.change_ring(GF(2)).right_kernel()
Vector space of degree 5 and dimension 2 over Finite Field of size 2
Basis matrix:
[1 0 0 0 0]
[0 0 1 1 1]

Blanc · June 2021

Je crois comprendre que le logiciel que j'ai utilisé donne une réponse dans R ( en l'occurrence D code) et ne peut me renseigner sur un corps fini comme le fait SAGE dans la réponse de Math Coss.

J'aimerais bien que l'on me dise comment télécharger SAGE de manière sûre.

Merci à vous tous d'avoir cherché à répondre à ma question.

[Utilisateur supprimé] · June 2021

Juste pour être certain (mais je pense que c'est bête, je viens de le refaire): si j'avais réduit ma matrice en ne faisant attention à n'utiliser que les opérations élémentaires inversibles dans $\mathbb{F}_{2}$, tout ce serait bien passé, n'est ce pas ? (échanges de lignes et ajouts de lignes)