Sous-espace vectoriel stable par crochet
Bonsoir
Soit $\mathcal A$ un sous-espace non nul de $\mathcal M_n(\K)$ stable par crochet c'est-à-dire vérifiant $\forall (A,B) \in \mathcal A \times \mathcal A ,\ \ [A,B] \in \mathcal A$.
Je n'arrive pas à démontrer que la matrice $H=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$ appartient à $\mathcal A$.
Soit $\mathcal A$ un sous-espace non nul de $\mathcal M_n(\K)$ stable par crochet c'est-à-dire vérifiant $\forall (A,B) \in \mathcal A \times \mathcal A ,\ \ [A,B] \in \mathcal A$.
Je n'arrive pas à démontrer que la matrice $H=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$ appartient à $\mathcal A$.
Réponses
-
Est-ce que la définition de crochet est $[A,B]= AB -BA$ ?
Dans ce cas-là, on pourrait prendre l'ensemble des homothéties j'ai l'impression. Et $H$ n'est pas une homothétie... -
Oui c'est bien ça comme définition.
-
En fait j'ai la réponse à ma question.
-
N'importe quelle droite vectorielle est stable par crochet et il n'y en a qu'une qui contient $H$. N'aurais-tu pas omis quelques dizaines d'hypothèses ?
-
@Math Coss
Je n'ai pas compris ce que ça veut dire qu'il y a une droite vectorielle qui contient $H$. Je ne comprends pas le problème :-S
En fait, c'est un problème, on définit $\varepsilon= \mathcal A \cap \mathcal D(n,\K)$ où $\mathcal D(n,\K)$ désigne l'ensemble des matrices diagonales de taille $n$.
Puis on pose $$\mathcal A= \Big\{ \begin{pmatrix}
A & B \\
C & -A^T
\end{pmatrix} \mid (A,B,C) \in \mathcal M(2,\R)^3 ,\ B=B^T \ \text{et} \ C=C^T \Big\}.
$$ On a donc $\varepsilon=\Big\{ \begin{pmatrix}
D & 0 \\
0 & -D
\end{pmatrix} \mid D \in \mathcal D(2,\R) \Big\}$ (ceci est donné par le sujet sans justification).
1) Démontrer que $\mathcal A$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal M(4,\R)$ stable par crochet. (réussi sans problème)
Dans notre exemple, il suffit de prendre $D=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}$ et on utilise le résultat de la question $1$. -
$\mathcal{M}_n(\K)$ est un espace vectoriel, $H$ est un vecteur non nul, donc il existe une unique droite vectorielle qui contient $H$. Essaie de trouver laquelle.
Ensuite, tu ne nous as pas défini $\epsilon$ et on ne connaît pas ta "question 1" donc on va avoir du mal à t'aider. Travaille un peu par toi-même... -
Relis bien Homo Topi j'ai tout défini.
La question 1 aussi je l'ai écrite.
Pour la droite vectorielle je réfléchis. -
Dans ton premier message, tu poses une question : $\mathcal{A}$ est un sous-espace presque arbitraire (il est stable par crochet) et $H$ une matrice bien particulière. Il est évident qu'en général, $H$ n'appartient pas à $\mathcal{A}$. Vérification : si $J$ est une matrice quelconque, $\mathrm{vect}(J)$ est un sous-espace non réduit à $\{0\}$ et stable par crochet qui, à moins que $J$ ne soit un multiple de $H$, ne contient pas $H$.
Dans cette verstion de la question, on apprend que ce qui t'intéresse, est un cas où $\mathcal{A}$ est un espace bien particulier et où il est à peu près évident que $H$ appartient à $\mathcal{A}$.
Super fil. Tu commences l'algèbre en septembre ? -
Il a une façon de poser ses questions qui m'embrouille.
Et j'avoue que galérer sur la question de la droite vectorielle, c'est affligeant. -
D'accord merci. J'ai eu un peu de mal à comprendre la définition générale.
Ma difficulté venait du fait qu'on doit toujours prendre un couple pour vérifier la stabilité par crochet, et avec ma seule matrice $H$ je ne voyais pas comment faire.
La droite vectorielle qui contient $H$ est $\boxed{\mathcal D=Vect(E_{11}- E_{22}+E_{33}-E_{44})}$ -
Pourquoi écrire $D=Vect(E_{11}-E_{22}+E_{33}-E_{44})$ et pas $D=Vect(H)$ ? C'est quoi pour toi la différence ?
-
Dans tout espace vectoriel sur un corps $K$, pour tout vecteur non nul $H$, il existe une unique droite vectorielle qui contient $H$, c'est $\mathrm{vect}(H)=\{aH,\ a\in K\}$.
Pour toute matrice $J$, un couple de points de $\mathrm{vect}(J)$, c'est un couple $(aJ,bJ)$ pour des scalaires $a$ et $b$ convenables. Le crochet correspondant est $aJbJ-bJaJ=ab(JJ-JJ)=0$. Conclusion : toute droite vectorielle est stable par crochet. -
Pourquoi tu n'as toujours pas pris la pause des maths dont tu avais besoin ?
-
C'est la même chose.
J'ai bien fait de poser la question du coup je n'avais pas compris la définition d'un sous-espace stable par crochet. -
Maths Coss ok merci.
Riemann lors des surveillances de brevet je me suis ennuyé et j'ai ressorti le livre de MP.
Mais je vais faire une pause bientôt et partir en vacances.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 39
+30 Invités