Théorème de Kolchin
Bonjour,
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. On est libre d'utiliser le théorème de Burnside.
Une partie de $E$ est dite irréductible si les seuls sous-espaces de $E$ stables par tous ses éléments sont $\{0\}$ et $E$.
Je n'arrive pas à faire la question $a$.
Si $g$ admet $1$ comme seule valeur propre alors il existe $x \in E$ non nul tel que $g(x)=x$
Et après je ne vois pas.
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. On est libre d'utiliser le théorème de Burnside.
Une partie de $E$ est dite irréductible si les seuls sous-espaces de $E$ stables par tous ses éléments sont $\{0\}$ et $E$.
Je n'arrive pas à faire la question $a$.
Si $g$ admet $1$ comme seule valeur propre alors il existe $x \in E$ non nul tel que $g(x)=x$
Et après je ne vois pas.
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Réponses
Dommage de voir que les raisonnements de moins d'une ligne te pose toujours soucis (soit parce que tu n'exploites pas tout l'énoncé, soit parce que tu ne connais pas assez bien ton cours et les exos de base pour penser à cette idée...)
Décomposition de Dunford
@Gon
Dunford est hors programme et je ne connais pas la théorie.
@Alexique
Si $1$ est l'unique valeur propre alors, $\chi_g(X)=(X-1)^n$. D'après le théorème de Cayley-Hamilton, $(g-id_{\C^n})^n =0$ donc $g-id_{\C^n}$est nilpotent.
@Homo Topi
Si $1$ est l'unique valeur propre de $g$, comme $L(C^n)$ est isomorphe à $\mathcal M_n(\C)$ et que dans le corps $\C$ tout endomorphisme est trigonalisable, alors en posant $B$ une base de trigonalisation, on a $Mat_B(g)-I_n$ est une matrice triangulaire supérieure stricte avec des $0$ sur la diagonale.
C'est donc une matrice nilpotente. Donc $g-id_{C^n}$ est nilpotent.
Je réfléchis à la réciproque.
Alors il existe $p \in \N^{*}$ tel que $(g-id)^p=0$. Comme $g$ et $id$ commutent, on a d'après la formule du binôme de Newton: $(g-id)^p=\displaystyle\sum_{k=0}^p \binom{p}{k} g^k (-1)^{p-k}=0$
Démontrons que $sp(g)= \{1 \}$
Soit $\lambda$ une valeur propre de $g$ et $x$ un vecteur propre associé. Alors $g(x)=\lambda x$ et par récurrence immédiate $\forall k \in [|0,p|] \ g^k (x)= \lambda ^k x$
On obtient $\displaystyle\sum_{k=0}^p \binom{p}{k} g^k(x)=0 \implies \displaystyle\sum_{k=0}^p \binom{p}{k} \lambda^k x=0$
Après je ne vois pas :-S
Après l'avoir corrigée, est-ce que l'expression $\displaystyle\sum_{k=0}^p \binom{p}{k} \lambda^k x$ ne t'évoque pas quelque chose ?
Ce qui donne en multipliant par $(-1)^p$ : $\boxed{\displaystyle\sum_{k=0}^p \binom{p}{k} (-\lambda)^{k} x=0}$
Je ne vois pas trop à quoi ça correspond :-S
En attendant j'ai trouvé l'inclusion réciproque. On a $(g-id)^p=0$ donc le polynôme $(X-1)^p$ est un polynôme annulateur de $g$ donc $\boxed{\{1 \} \subset SP(g)}$
Deux cas se présentent. Si $\lambda=1$ alors on a ce qu'on voulait.
Si $\lambda \ne 1$ alors en divisant par le nombre complexe non nul $(1-\lambda)^p$ on obtient $x=0$ ce qui est absurde car $x$ est un vecteur propre de $g$ donc non nul par définition.
Finalement si $g-id$ est nilpotent alors $SP(g)= \{1 \}$
Soit $a \in G$. Alors $a-id$ est nilpotent d'après la question précédente.
Or $b=a-id$ donc $b \circ f=a \circ f -f$ et $1$ est la seule valeur propre de $b$.
$b$ est un endomorphisme de $\C^n$ par somme d'endomorphismes de $\C^n$, il est trigonalisable et dans une base de trigonalisation $B$, sa matrice ne contient que des $1$ sur la diagonale.
$f$ est aussi trigonalisable dans une base $B'$ avec des $1$ sur la diagonale.
Ici ce qui me pose problème c'est que les bases $B$ et $B'$ ne sont pas forcément les mêmes...
Mais je ne vois pas le lien avec la question b :-S
Ps : les sujets d'agreg sont une obsession pour toi c'est hallucinant...
Je ne pense pas que ces 4 questions soient hors de portée de mon niveau ou de celui de quiconque. Elles ne m'ont pas l'air insurmontables. Ca ressemble à des questions classiques sur la réduction des endomorphismes et l'algèbre linéaire.
Justement j'ai voulu traiter ces questions car je n'ai pas de corrigé et je n'ai pas cherché s'il y en avait un de dispo.
@Thierry Poma
Possible oui.
Ton comportement sur les topics d'analyse où tu faisais des choses plus élémentaires mais par toi-même était bien plus encourageant. Tu n'auras jamais l'agreg, ni même de CAPES hors conditions covid en continuant avec cette attitude (et je t'en prie, ne gaspille pas un message pour dire "Riemann : je ne vais pas repasser le CAPES, je le possède déjà. Je ne comprends pas ton message").
Si tu as vu un cours de réduction pourquoi ne pas déjà faire des exercices de base ? Bloquer à la première question est anormal puisque c'est littéralement le tout début du cours.
Si tu n'en as pas vu alors tu n'as même pas à lire l'énoncé du problème.
J'ai aussi fait un sujet de centrale sur l'algèbre linéaire avec bon nombre de questions sur la réduction.
Je sais que ce sujet est dur, mais j'essaie de traiter juste quelques petites parties, les parties les plus accessibles.
Pour la question $b$ j'ai trouvé :
On a $a \circ f=f+b \circ f$. Or $G$ est un sous-groupe, il est stable par produit donc $a \circ f \in G$. Par linéarité de la trace :
$tr(a \circ f)=tr(f)+tr(b \circ f)$. Or $tr(a \circ f)=n$ et $tr(f)=n$ on en déduit $tr(b \circ f)=n-n=0$
Sinon on pouvait remarquer qu'un polynôme annulateur de $b$ était aussi annulateur de $b(f)$, qui a donc ses valeurs propres nulles.
RLC doit avoir des facilités avec les maths contrairement à moi, je ne comprends pas la moitié de ses remarques et de ses résolutions astucieuses. Il se trompe quand il dit que je n'ai pas étudié en profondeur le cours de réduction. J'ai dû y passer 1 mois, en étudiant 1 à 2 heures par jour.
Pour en revenir à l'exercice, je coince sur la question $c$. Pour la $d$ je pense savoir le faire, ça ressemble à une question que j'ai résolue dans l'épreuve de Centrale que je viens de faire, sur une base commune de diagonalisation, on décompose l'espace en somme directe puis on utilise une base adaptée et on raisonne matriciellement.
J'essaie d'éviter les raisonnements astucieux ou autrement je le signale. Mon approche par valeurs propres me paraît naturelle dans le cadre d'un cours de réduction. Cependant tu as trouvé une preuve seul en cherchant, et c'est très bien, je suis content de toi ! Mais ça prouvait aussi que tu as tendance à demander la solution très prématurément sans chercher suffisamment, tel un oiseau réclamant la becquée.
Je te crois quand tu dis que tu as étudié avec acharnement ce cours pendant un mois. Mais je sais que tu l'as mal fait, avec une espèce de propension au par cœur inavoué et nié, qui est le contraire des maths.
Je pense ne pas me tromper aussi quand je prétends que tu n'as pas fait les exercices élémentaires avant d'attaquer ça.
Par ça j'entends entre autres :
-Diagonaliser et trigonaliser quelques matrices de taille 3
-Polynômes caractéristiques de matrices courantes (nilpotente, projection...)
-Résolution de quelques équations matricielles faciles
-Quelques systèmes différentiels (il y a des exercices sur le thème dans certaines planches de réduction, pas besoin d'un cours d'équations différentielles pour ce type d'exercices)
-Quelques résultats type densité des matrices inversibles
-Quelques problèmes guidés comme Dunford qui est du cours inavoué
Et ensuite on respire pour attaquer sereinement de vrais sujets de concours.
J'ai tout fait sauf Dunford et les systèmes différentiels.
Les systèmes différentiels sont abordés dans le chapitre calcul différentiel dans mon livre.
Je ne connais pas encore le cours dessus.
Je vais donner un passage du dernier sujet de concours que j'ai traité qui est très classique et très important il me semble.
Tu viens de prouver que tu lis effectivement les remarques qu'on te fait. Alors je vais te rendre un service, et développer un peu. C'est à toi de lire ce que je vais écrire et d'y réfléchir.
La première chose que tu dois comprendre, pour toi-même mais aussi pour tes élèves quand tu es au travail, c'est que tout le monde peut tout comprendre, à condition d'y passer suffisamment de temps. Certains élèves ont des lacunes en maths à l'école parce qu'ils sont plus lents que la vitesse de compréhension exigée par le programme. Est-ce que ça fait d'eux des gens condamnés à l'incompétence mathématique ? Non. Je ne suis pas aussi brillant que les Maxtimax, Calli, Poirot et autres jeunes prodiges du forum, pourtant j'ai un Master de maths fondamentales, j'ai failli avoir l'agreg externe du premier coup, d'autres gens dans une situation similaire à la mienne sont parfois pris en thèse... avoir des facilités, ça aide, et j'en ai sûrement plus que d'autres personnes, mais ça ne fait pas tout et ça ne condamne à rien d'en avoir moins, ça veut juste dire qu'il faut plus de temps. Si ton objectif, c'est d'avoir l'agreg, alors donne-toi les moyens d'avoir l'agreg, et tu finiras par l'avoir. Comme un élève qui redouble, certains ont besoin de plus de temps, c'est comme ça. Et ce n'est pas uniquement la compétence "génétique" (facilités en maths) qui joue... faire une dépression, avoir des parents divorcés, avoir des voisins bruyants qui t'empêchent de dormir, avoir des soucis financiers, il y a énormément de facteurs qui jouent sur la capacité de concentration et d'apprentissage, il faut juste en avoir conscience et faire avec, pour s'adapter et ne pas se lancer dans une tâche insurmontable. Regarde ton niveau de compétence, regarde ton cadre d'apprentissage, et adapte ton objectif (à savoir, dans combien de temps tu veux avoir l'agreg) en conséquence.
L'autre truc fondamental que tu dois comprendre, c'est le principe de la critique constructive. A moins que tu sois dans un délire paranoïaque de persécution ou je ne sais quoi, tu es obligé d'admettre que ça n'a aucun sens que le forum se soit ligué contre toi. Donc si, en permanence depuis ton arrivée sur le forum, on te dit les mêmes choses, c'est peut-être pour une raison. Ce forum est rempli de gens qui savent faire plus de maths que toi, qui savent (pour avoir été à ta place) ce qui te pose problème et ce sur quoi tu as besoin de travailler pour t'apprendre. Tu devrais prendre ce qu'on te donne, au lieu de tout le temps l'ignorer, te battre contre, ou je ne sais quoi. Si ton problème est que tu fais un complexe d'infériorité, je te le dis sans condescendance, va consulter un psychiatre, ça te fera énormément de bien. Moi aussi, je me fais régulièrement la remarque que les gens qui m'ont le plus aidé sur le forum sont tous plus jeunes que moi et meilleurs en maths que moi. Mais ce n'est pas important, l'important c'est que pour mon objectif à moi, il y a des gens plus expérimentés que moi (ne serait-ce que pour y avoir passé plus de temps ! j'apprends la musique à un mec bien plus âgé que moi sur Discord, forcément, si j'ai commencé à m'y intéresser de près avant lui je vais être "meilleur") dans X domaine qui m'aident volontairement, leur aide m'est précieuse alors je respecte ce qu'ils me disent et j'en tiens compte. On s'en fout si quelqu'un d'autre est "meilleur que toi", tu ne connais pas sa vie et tu ne sais pas si à tout hasard ça fait 25 ans qu'il évolue dans des conditions infiniment meilleures que les tiennes, c'est normal de ne pas faire le temps d'Usain Bolt au 100 mètres quand on marche avec une béquille. Ce qui doit compter pour toi, c'est de t'améliorer, pas de devenir "aussi bon que les autres" ou je ne sais quoi. Vouloir ça, ça serait hautement destructeur pour ton amour-propre et ta confiance en toi, tu peux me croire sur parole là-dessus, je te le promets.
Ce que tout le monde t'a dit, et répété, incessamment, c'est de dézoomer un peu et de prendre du recul. Ce n'est pas en faisant des sujets de concours de prépa à la chaîne que tu deviendras "un matheux". Tu deviendras une machine à résoudre des sujets de concours de prépa. Et pour avoir été aux oraux de l'agreg, je t'assure que ce que le jury regarde, c'est si tu sais faire des maths. Et nous, on te le dit tout le temps, tu ne sais pas faire beaucoup de maths. Faire des maths, ce n'est pas uniquement résoudre des calculs. C'est découvrir des objets, comprendre ces objets, comprendre les liens entre les objets, savoir construire un raisonnement, savoir rédiger un raisonnement dans le langage des maths, avoir une vision globale de ce qu'on étudie... pour chaque élément de ma liste, on t'a fait beaucoup de remarques. C'est en n'en tenant pas compte, en ne réfléchissant pas à d'où elles sortent et pourquoi on te les fait, que tu t'empêches de progresser.
Tu dis souvent que tu connais tes cours par coeur. Le problème, c'est que ça ne sert absolument à rien de connaitre ses cours par coeur si on n'en comprend pas le fond. Et tu montres régulièrement que tu ne comprends pas, et que tu n'as pas cherché à comprendre, à quoi servent les notions que tu étudies. Par exemple, qu'est-ce qu'on en a à foutre des axiomes qui définissent un déterminant, de baratin technique comme "forme multilinéaire alternée" et des formules de calcul sur des déterminants, ce qui compte c'est d'avoir compris que c'est un volume algébrique orienté, parce que c'est ça qui explique comment on s'en sert et rien d'autre, personne ne "comprend" le déterminant à partir de sa formule polynomiale dégueulasse que tout le monde a dans son cours. Mais toi, à chaque fois qu'on te dit un truc comme ça, tu copies-colles un morceau de ton polycop de cours ici, comme si on n'avait pas un cours nous-mêmes dans lequel regarder si on en ressent le besoin.
Et un autre problème que tu as, aussi, et tu vas le prendre mal mais j'ai raison quand même, c'est que tu es égoïste et que tu manques d'empathie. Tu t'étonnes que les gens commencent à se moquer de toi quand tu écris n'importe quoi (et encore, tu n'as rien vu, tu n'as pas encore eu droit au "c'est bien, tu es un grand mathématicien" à répétition comme Pablo), mais tu t'es déjà demandé comment ça se fait ? Depuis environ deux ans que tu es sur le forum, on te dit les mêmes choses, parce qu'on sait de quoi tu as besoin pour progresser (pour avoir été à ta place un jour), tu persistes à ignorer nos conseils et donc tu ne t'améliores pas, et tu viens pleurnicher que les choses ne vont pas comme tu veux alors que tu essaies de battre le record du 100 mètres d'Usain Bolt en marchant avec une béquille. Dans ton comportement sur ce forum, ce qui transpire c'est que tu n'en as rien à foutre qu'on soit nombreux à venir sur tes fils, qu'on passe beaucoup de temps à corriger tes erreurs et à te dire que tu devrais combler tes lacunes qui nous sont évidentes pour marcher sans béquille, tu n'as aucun respect pour le travail qu'on fournit pour t'aider parce que tu es dans le déni total. Nous, on sait de quoi tu as besoin pour progresser, tu es dans le déni du fait qu'on sait mieux que toi, et tant que tu seras dans ce déni, tu continueras à rester au même stade. Parce que tu n'as pas vraiment progressé depuis que tu es venu sur le forum, tu fais encore des erreurs du même niveau pour les mêmes raisons. Si tout ne va pas entièrement dans ton sens, tu n'es pas content. Comme si ça ne suffisait pas qu'on t'explique toutes tes erreurs, tu veux encore qu'on fasse ton boulot à ta place. Tu demanderas le joker d'appel à un ami lors de tes oraux d'agreg ? Voilà pourquoi je te dis que tu es égoïste et que tu manques d'empathie. Personne ici n'a appris des maths en lisant des corrigés, mais en se cassant le cul sur une question qui a l'air simple pendant 2 semaines, c'est de ce travail-là que NOUS on a fourni dont tu profites quand tu nous poses une question sur le forum. J'ai résolu plus d'une dizaine des "exercices infaisables" de Calli comme ça, pourtant je n'ai jamais mis le pied à l'ENS. Pourquoi c'est comme ça qu'on progresse ? Parce que si la question a l'air simple mais qu'elle ne l'est pas pour toi, c'est que tu as une lacune, et la SEULE manière de la combler, c'est de passer du temps à la cerner, pour comprendre d'où elle sort et trouver la pierre manquante à l'édifice pour la combler. Ce n'est pas en la balayant sous le tapis que tu la feras disparaitre, et tu as deux choix pour combattre tes lacunes : faire ce que les gens qui ont compris plus de maths que toi te disent en leur faisant confiance qu'ils parlent en connaissance de cause, ou avoir l'air d'un con face à un jury d'oral d'agreg parce que tu n'auras plus le choix à ce moment-là. Tu choisis.
C'est à toi de voir si tu veux mériter l'agreg en devenant un matheux aussi bon que tu peux, ou si tu veux l'avoir en grugeant le système.
La récurrence est un peu fastidieuse.
Faire des sujets de concours de prépa permet de voir où sont mes lacunes aussi... Car quand je bloque sur une question c'est souvent une lacune sur le cours, comme ma question sur les formes linéaires proportionnelles.
Je l'ai posée car je bloquais sur une question.
De toute façon je ne passerai pas l'agreg juste pour la passer. Je la passerai si un jour je sens que je suis devenu compétent en maths.
Je ne suis pas en préparation pour l'agreg, je suis plutôt en train d'apprendre des choses et les sujets de concours permettent de savoir où j'en suis.
Les sujets de Centrale comporte des questions de tout niveau, facile, intermédiaire, difficile, très difficile ce qui fait un bon entraînement.
A ceci près que je comprends mieux le déterminant par la formule "des serpentins dans la matrice" que par l'idée du volume du parallélogramme qui ne m'apporte absolument rien.
Mouais je ne sais pas... j'ai l'impression que les questions que noobey te pose sont bien meilleures pour voir apparaître tes lacunes. Exemple flagrant selon moi : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2263866.
OShine, il faut que tu te rendes compte que la question que noobey t'avait posée sur ce fil est vraiment élémentaire par rapport à tes sujets de concours et pourtant tu as eu le plus grand mal pour y répondre.
Pour le reste, elle est compliquée à démontrer si ce n'est pas la définition de déterminant choisie et elle ne sert à rien. Par contre, l'idée que le déterminant généralise la notion de volume à plusieurs dimensions est fondamentale. On commence par l'aire d'un parallélogramme (ou d'un triangle ie d'un demi parallélogramme) dans le plan et on essaye de généraliser. On voit vite que l'aire (le volume) est nul dès que deux vecteurs sont colinéaires. Mais commencer à présenter à l'agreg devant le jury "le déterminant d'une matrice c'est la formule blabla", c'est encore du discours "robot", copié-collé des bouquins sans aucun recul, et aucune réflexion.
On peut me reprendre mais je crois que dans l'ordre :
- on montre que tout forme n-linéaire alternée est unique à scalaire près sur une base donnée. Celle valant 1 sur la base canonique est appelée déterminant et toutes les autres formes lui sont proportionnelles.
- on montre les formules de changement de base pour les déterminants, la nullité sur famille liée etc...
- on définit le déterminant d'un endomorphisme par rapport à la base canonique et on montre qu'il ne dépend pas de la base choisi.
- on définit le déterminant d'une matrice et on montre que cela coïncide avec le déterminant de l'endomorphisme canoniquement associé. On récupère les propriétés du déterminant matriciel (nullité, développement ligne/colonne, invariance par opération élémentaire) grâce aux propriétés héritées du déterminant d'un endomorphisme, preuve que le déterminant matriciel est plutôt pauvre et ne sert à rien dans la construction du déterminant.
Je ne pense pas car j'ai traité bon nombre de questions bien plus faciles.
Sinon c'est malsain en effet de tout voir en maths par le prisme "ça serait réussi par combien de candidats", pour juger de l'intérêt d'une question et de sa difficulté.
Ce qui est encore plus grave que le temps que tu as mis à répondre aux questions de noobey, et les fautes très grossières que tu as écrites avant d'arriver au résultat, c'est justement que tu ne te sois pas rendu compte que ces questions étaient élémentaires, mais vraiment bas de plafond (même si intéressantes). En principe ce sont des questions qu'un étudiant se pose spontanément en découvrant son cours et auxquelles il répond mentalement en 30 secondes. Sans forcément exhiber l'expression d'une suite convenable, mais au moins en ayant une représentation géométrique en tête pour infirmer ou non les questions de noobey.
C'est absolument incomparable avec le théorème de Burnside, crois-moi !