Cherche matrices à réduire

Homo Topi
Homo Topi
dans Algèbre
Je cherche des matrices pour m'entraîner un peu à certains points sur la réduction des endomorphismes que je n'ai pas vraiment travaillés quand j'étais en Licence. Pour tous les cas de figure possibles, je cherche un exemple.

1) Une matrice réelle non trigonalisable sur $\R$, mais diagonalisable sur $\C$ : le polynôme caractéristique $X^2+1$ fonctionne, il est irréductible sur $\R$ mais scindé à racines simples sur $\C$, donc la matrice $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ par exemple fonctionne.

2) Une matrice réelle non trigonalisable sur $\R$ et non diagonalisable sur $\C$ : je n'ai pas encore réussi à fabriquer ça. Je pensais partir sur le polynôme caractéristique $X^4+1$ mais ça devient compliqué de fabriquer des matrices de taille $4$ en s'assurant que les sous-espaces propres ne soient pas assez grands...

3) Une matrice réelle trigonalisable mais non diagonalisable sur $\R$, et diagonalisable sur $\C$ : il me faudrait un polynôme caractéristique à coefficients réels, scindé sur $\R$ mais à racines multiples... les racines seraient réelles donc les sous-espaces propres seraient les mêmes dans $\R$ et dans $\C$, donc j'ai envie de dire que ça n'existe pas ?

Si j'ai dit des bêtises, corrigez-moi. Sinon, si vous avez des exemples tous faits, je suis preneur.

Réponses

  • Homo Topi
    Homo Topi
    $X^4+1$ en fait ne marche pas. C'est $X^4 + 2X^2 + 1$ plutôt, à savoir $(X^2+1)^2$.
  • marco
    marco
    Pour le 2), on peut choisir la matrice $$\begin{pmatrix} 1 & 1 &0 &0 \\ 0 & 1 & 0&0\\ 0&0&0&-1\\ 0&0&1&0 \end{pmatrix}$$
  • Homo Topi
    Homo Topi
    J'aimerais savoir comment tu as réussi à la construire. Si tu ne l'as pas piochée dans tes exos de l'époque, bien sûr :-D
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Ah j'ai oublié :

    4) Une matrice trigonalisable sur $\R$, mais diagonalisable ni sur $\R$, ni sur $\C$... je pense qu'un polynôme avec un $(X-1)^2$ dedans, avec l'espace propre correspondant de dimension $1$, ça fait l'affaire, mais pour construire la matrice associée, je ne sais pas encore.
  • marco
    marco
    La matrice $\begin{pmatrix} 1&1\\0 &1\end{pmatrix}$ n'est pas diagonalisable sur $\C$, car sinon elle serait égale à $I_2$ (c'est un exercice classique). Ensuite, la matrice $\begin{pmatrix} 0&-1\\1 &0\end{pmatrix}$ n'est pas diagonalisable sur $\R$. Donc on fait un mélange des deux.
  • Lee sin
    Lee sin
    De manière générale, étant donné un polynôme unitaire de degré $n$ existe-t-il une matrice carrée de taille $n$ dont ce polynôme est le polynôme caractéristique ?
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Tiens, Lee sin... ta question, je parie que soit quelqu'un va y répondre en 2 lignes, soit elle ferait une partie de sujet d'écrit d'agreg, mais je ne sais pas encore lequel des deux est le plus réaliste :-D
  • Lee sin
    Lee sin
    Ce n'est pas du tout évident si tu ne l'as jamais vu, mais c'est (quasiment) du cours.
    Regarde ça: Matrice compagnon
    Je pense que ça te permettra de répondre à tes questions.
  • bd2017
    bd2017
    Bonjour
    C'est connu : matrice compagnon
     
  • Homo Topi
    Homo Topi
    J'ai vu ça une fois, mais pas en détail, ça ne m'a visiblement pas marqué. Il faudra que je relise...
  • bisam
    bisam
    Pour le 3), tu as raison. Si A est trigonalisable sur R, son polynôme caractéristique est scindé sur R et ses valeurs propres sont réelles. Donc si elle est diagonalisable sur C, elle est semblable dans M_n(C) à une matrice D diagonale et réelle puisque sa diagonale contient ses valeurs propres. Ensuite, il est classique que si deux matrices réelles sont semblables dans M_n(C), elles le sont dans M_n(R). Donc A est diagonalisable sur R.

    Par contre, ton idée de passer par les sous-espaces propres ne fonctionne pas car les espaces vectoriels à considérer ne sont pas les mêmes (ils n'ont pas le même corps sous-jacent).
  • raoul.S
    raoul.S
    Autre possibilité pour la 3 afin de recycler ce qui a été dit ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2264886,2265168#msg-2265168 :

    si $A$ est trigonalisable sur $\R$ alors son polynôme minimal $\mu_{\R,A}$ est scindé et si de plus $A$ est diagonalisable sur $\C$ alors $\mu_{\R,A}$ est à racines simples (car $\mu_{\R,A}=\mu_{\C,A}$). Le polynôme minimal $\mu_{\R,A}$ est scindé à racines simples donc $A$ est diagonalisable sur $\R$.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    C'est effectivement plus propre comme ça.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    marco : pour montrer que la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ne peut pas être semblable à $I_2$, on peut évidemment la conjuguer avec une matrice $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ et vérifier à la main que ça déconne (on aboutit à $a=c=0$ alors qu'elle doit être inversible)... mais ça me paraît un peu lourd, long et ennuyeux de faire comme ça. Il y a un argument "en 5 secondes" pour justifier que c'est impossible ?
  • Héhéhé
    Héhéhé
    Une matrice semblable à l'identité est l'identité. C'est immédiat si on pense en terme d'endomorphismes (c'est la matrice de l'application identité dans différentes bases), sinon :
    $$A=PI_nP^{-1} = PP^{-1} = I_n$$
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Ce n'est pas faux ! :-D

    Vu qu'on parlait de matrices de taille $2$, je l'ai tout de suite écrite avec des coefficients "puisque c'est encore assez facile". Inutile !
  • Héhéhé
    Héhéhé
    Plus généralement $I_2$ et la matrice $\begin{bmatrix} 1&1\\0&1 \end{bmatrix}$ sont des bons exemples de matrices qui ont plein de propriétés en commun (même trace, déterminant, polynôme caractéristique, rang, etc.) et qui pourtant ne sont pas semblables...
  • Homo Topi
    Homo Topi
    C'est peut-être une bonne excuse pour reparler des invariants de similitude : le seul truc qui cloche, c'est le polynôme minimal.
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