Cherche matrices à réduire
Je cherche des matrices pour m'entraîner un peu à certains points sur la réduction des endomorphismes que je n'ai pas vraiment travaillés quand j'étais en Licence. Pour tous les cas de figure possibles, je cherche un exemple.
1) Une matrice réelle non trigonalisable sur $\R$, mais diagonalisable sur $\C$ : le polynôme caractéristique $X^2+1$ fonctionne, il est irréductible sur $\R$ mais scindé à racines simples sur $\C$, donc la matrice $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ par exemple fonctionne.
2) Une matrice réelle non trigonalisable sur $\R$ et non diagonalisable sur $\C$ : je n'ai pas encore réussi à fabriquer ça. Je pensais partir sur le polynôme caractéristique $X^4+1$ mais ça devient compliqué de fabriquer des matrices de taille $4$ en s'assurant que les sous-espaces propres ne soient pas assez grands...
3) Une matrice réelle trigonalisable mais non diagonalisable sur $\R$, et diagonalisable sur $\C$ : il me faudrait un polynôme caractéristique à coefficients réels, scindé sur $\R$ mais à racines multiples... les racines seraient réelles donc les sous-espaces propres seraient les mêmes dans $\R$ et dans $\C$, donc j'ai envie de dire que ça n'existe pas ?
Si j'ai dit des bêtises, corrigez-moi. Sinon, si vous avez des exemples tous faits, je suis preneur.
1) Une matrice réelle non trigonalisable sur $\R$, mais diagonalisable sur $\C$ : le polynôme caractéristique $X^2+1$ fonctionne, il est irréductible sur $\R$ mais scindé à racines simples sur $\C$, donc la matrice $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ par exemple fonctionne.
2) Une matrice réelle non trigonalisable sur $\R$ et non diagonalisable sur $\C$ : je n'ai pas encore réussi à fabriquer ça. Je pensais partir sur le polynôme caractéristique $X^4+1$ mais ça devient compliqué de fabriquer des matrices de taille $4$ en s'assurant que les sous-espaces propres ne soient pas assez grands...
3) Une matrice réelle trigonalisable mais non diagonalisable sur $\R$, et diagonalisable sur $\C$ : il me faudrait un polynôme caractéristique à coefficients réels, scindé sur $\R$ mais à racines multiples... les racines seraient réelles donc les sous-espaces propres seraient les mêmes dans $\R$ et dans $\C$, donc j'ai envie de dire que ça n'existe pas ?
Si j'ai dit des bêtises, corrigez-moi. Sinon, si vous avez des exemples tous faits, je suis preneur.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
4) Une matrice trigonalisable sur $\R$, mais diagonalisable ni sur $\R$, ni sur $\C$... je pense qu'un polynôme avec un $(X-1)^2$ dedans, avec l'espace propre correspondant de dimension $1$, ça fait l'affaire, mais pour construire la matrice associée, je ne sais pas encore.
Regarde ça: Matrice compagnon
Je pense que ça te permettra de répondre à tes questions.
C'est connu : matrice compagnon
Par contre, ton idée de passer par les sous-espaces propres ne fonctionne pas car les espaces vectoriels à considérer ne sont pas les mêmes (ils n'ont pas le même corps sous-jacent).
si $A$ est trigonalisable sur $\R$ alors son polynôme minimal $\mu_{\R,A}$ est scindé et si de plus $A$ est diagonalisable sur $\C$ alors $\mu_{\R,A}$ est à racines simples (car $\mu_{\R,A}=\mu_{\C,A}$). Le polynôme minimal $\mu_{\R,A}$ est scindé à racines simples donc $A$ est diagonalisable sur $\R$.
$$A=PI_nP^{-1} = PP^{-1} = I_n$$
Vu qu'on parlait de matrices de taille $2$, je l'ai tout de suite écrite avec des coefficients "puisque c'est encore assez facile". Inutile !