Plan stable par endomorphisme sans vp réelle
dans Algèbre
Bonjour
Je n'arrive pas à me convaincre de la dernière ligne de cette preuve, pourriez-vous m'éclairer ? Je ne comprends ni l'isomorphisme, ni le fait que ce soit un plan, ni le fait que ce soit u-stable...
Cordialement,
Thibault Danguy
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Réponses
Le fait que $F$ est stable par $f$ est évident par contre : un élément de $F$ est de la forme $S(f)(y)$, où $S \in \mathbb R[X]$, et alors $f(S(f)(y)) = T(f)(y)$ où $T=XS$.
$f$ n'est pas particulièrement un polynôme de degré 1 ?
$S(f)=a_0 id + a_1 f + \cdots + a_n f^n$ (où $f^n$ est la composée $n$ fois de $f$). C'est un élément de $\mathcal L(E)$ !
- Tout diviseur irréductible du polynôme minimal est de degré 2. On note $P$ un tel diviseur irréductible.
- $\ker P(f)$ est stable par $f$, n'est pas réduit à $\{0\}$ (sinon on aurait un polynôme annulateur de degré strictement plus petit que celui du polynôme minimal) et n'est pas une droite (sinon $f$ aurait un vecteur propre).
- L'endomorphisme induit par $f$ sur $\ker P(f)$ n'est pas une homothétie (sinon, $f$ aurait encore un vecteur propre) donc il existe $x \in \ker P(f)$ tel que $\big(x,f(x)\big)$ est libre.
- Le plan $F=vect\big(x,f(x)\big)$ convient.