Topologie matrices trigonalisables réelles

Lee sin
Lee sin
dans Algèbre
Bonsoir,
Je me pose des questions à propos de l'adhérence et l'intérieur de l'ensemble des matrices trigonalisables réelles.
Pour l'adhérence, je pense que c'est un fermé, mais je n'ai pas une preuve qui tient pour l'instant.
Etant donné une suite de matrices trigonalisables $A_n=P_n^{-1}T_nP_n$ qui converge vers $A$
Je peux me donner une norme quelconque sur l'ensemble des matrices, et quitte à remplacer $P_n$ par $\frac{P_n}{||P_n||}$ supposer que $||P_n||=1$. Je peux donc supposer que $P_n$ converge (quitte à extraire une sous-suite), mais il me reste à justifier que la limite est inversible. Avec cela on aurait $T_n=P_nA_nP_n^{-1}$ converge également et la limite ne peut être que triangulaire.
En ce qui concerne l'intérieur, en traitant le cas de matrices 2x2, je montre que l'intérieur est exactement l'ensemble des matrices diagonalisables dont les valeurs propres sont distinctes, par contre je n'arrive pas à traiter le cas général.
J'aimerais bien de l'aide,
Merci.

Réponses

  • Seb Baumert
    Seb Baumert
    Pour la fermeture, on peut regarder les polynômes caractéristiques et utiliser Bolzano-Weierstrass ainsi que les relations coefficients-racines dans un polynôme, si je ne m'abuse.

    L'idée est de dire que les coefficients respectifs des polynômes caractéristiques convergent, quitte à extraire, entraînant ainsi la convergence des racines respectives de ces polynômes. La limite de ces polynômes caractéristiques sera donc un polynôme scindé.


    Pour ce qui est de l'intérieur, je dirais que si les $n$ valeurs propres sont distinctes, alors elles évolueront "gentiment" dans une petite boule centrée en ta matrice, grâce aux relations coefficients-racines, de sorte que toute matrice dans cette boule possède toujours $n$ valeurs propres distinctes.

    Si deux valeurs propres coïncident, tu peux te ramener au cas $n=2$ que tu as déjà traité.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Une reformulation du premier point de Seb est que $\mathbb R$ est fermé dans $\mathbb C$, "donc" si tu as une suite de polynómes convergente, dont toutes les racines sont réelles, la limite sera aussi à racines réelles
  • john_john
    john_john
    Il y a pour cela une jolie astuce : l'ensemble des polynômes de degré $p$, unitaires réels scindés, est fermé pour la topologie de la cv simple. En effet, un tel polynôme est scindé ssi $|P(z)|\geqslant|\Im(z)|^p$ pour tout complexe $z$ et ces inégalités passent à la limite simple.

    Remarque : avant de connaître cette astuce, je faisais comme toi avec une suite de matrices $P_n$ mais en les choisissant orthogonales, ce qui est possible.
  • Poirot
    Poirot
    Lee Sin a écrit:
    Pour l'adhérence, je pense que c'est un fermé, mais je n'ai pas une preuve qui tient pour l'instant.

    Relis-toi calmement !
  • P.
    P.
    john_john (tu).
  • Lee sin
    Lee sin
    Merci à tous.
    @john_john:
    J'ai pensé à les prendre orthogonales mais aucune idée de pourquoi ce serait possible.
  • john_john
    john_john
    Lee sin : on affuble $\R^n$ de son produit scalaire canonique et, si $\cal B$ en est une base et qu'elle triangule $X\mapsto MX$, on lui applique le procédé de Schmidt... Je te laisse le soin de conclure.
  • Lee sin
    Lee sin
    Ok ! La base obtenue par procédé de Schmidt est orthonormée et triangule également $X \mapsto MX$ (les $i$ premiers vecteurs de chacune des deux bases engendrent le même sous-espace stable par $X \mapsto MX$).
  • Lee sin
    Lee sin
    En ce qui concerne l'intérieur, il me reste à montrer qu'une matrice trigonalisable qui admet une valeur propre multiple ne peut être intérieure à l'ensemble des matrices trigonalisables.
    Dans le cas 2x2 chaque terme de la suite de matrices $\begin{bmatrix}
    a & b \\
    \frac{-1}{n} & a
    \end{bmatrix}$ (avec $b > 0$) est de polynôme caractéristique non scindé et la suite converge vers la matrice triangulaire $\begin{bmatrix}
    a & b \\
    0 & a
    \end{bmatrix}$.

    Pour le cas général, j'essaie de me ramener au cas $2\times 2$. Le problème que je rencontre est que lorsqu'on conjugue une matrice triangulaire par une matrice de permutation, la matrice obtenue n'a aucune raison de rester triangulaire. Donc a priori il me semble que je ne peux pas permuter les éléments diagonaux comme bon me semble pour me ramener à un bloc $2\times 2$ comme ci-dessus.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Et tu n'as aucune réaction face à la remarque de Poirot ? Tu devrais, pourtant.
  • Lee sin
    Lee sin
    Ce que je voulais dire par "Pour l'adhérence, je pense que c'est un fermé" c'était plus précisément "En ce qui concerne la recherche de l'adhérence de l'ensemble des matrices trigonalisables, je pense que ce dernier est fermé" pas que l'adhérence est fermée.
    J'avoue que c'était mal exprimé :-D.
  • Guego
    Guego
    Pour l'intérieur : soit $T$ trigonalisable avec une valeur propre $\lambda$ de multiplicité algébrique $m>1$.
    La décomposition en sous-espaces caractéristiques de $T$ (en mettant $Ker((T-\lambda I)^m)$ en premier) nous dit que $T$ est conjuguée à une matrice triangulaire par blocs dont le premier bloc est de la forme $\begin{pmatrix} \lambda & & \ast \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda\end{pmatrix}$ (avec $m$ occurrences de $\lambda$ sur la diagonale). Il suffit alors de faire ton bricolage sur le coin $2\times 2$ en haut à gauche.
  • Lee sin
    Lee sin
    Bien vu Guego! merci.
  • Seb Baumert
    Seb Baumert
    Je suis d'accord avec ce que dit Guego.

    @Lee sin : Pourquoi t'intéresses-tu au cas $b>0$ ? À priori, on peut avoir $b\leq 0$, non ? Dans ce cas-là, les termes de la suite à étudier sont différents de ceux que tu donnes.

    De surcroît, je crois que tu t'es trompé sur le coefficient $\frac{-1}{n}$ dans le cas que tu traites. L'idée est bien de forcer à ce que le discriminant du polynôme caractéristique soit à chaque fois strictement négatif, de sorte qu'aucune valeur propre ne soit réelle.

    Edit : Au temps pour moi concernant le dernier point. C'est moi qui ai fait une erreur (de signe).
  • Lee sin
    Lee sin
    @Seb Baumert:
    Si $b < 0$ on prend $\frac{1}{n}$ si $b=0$ on prend $\frac{1}{n}$ pour l'un des coefficients non diagonaux et $\frac{-1}{n}$ pour l'autre.
  • Seb Baumert
    Seb Baumert
    Tout à fait. Maintenant, je pense que tout y est !
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