Jordaniser une matrice

michel001
michel001
dans Algèbre
Bonjour
J'aimerais jordaniser la matrice suivante.

$A= \begin{pmatrix}
6& -4 & -2 \\
2& 0 & -1 \\
4& -4 & 0 \\
\end{pmatrix}$
J'ai trouvé le polynôme caractéristique : $\left ( x-2 \right )^{3}$
Le sous-espace propre associé à l'unique valeur propre 2 est : $E_{2}= Vect \left(\begin {pmatrix}
1\\
1\\
0
\end{pmatrix}, \begin {pmatrix}
1\\
0\\
2
\end{pmatrix}\right) $
J'aimerais donc trouver le vecteur $V_{3}=\begin{pmatrix}
x\\
y\\

z\end{pmatrix}$ tel que la matrice diagonale par bloc de Jordan soit $\begin{pmatrix}
2& 0 & 0 \\
0& 2 & 1 \\
0& 0 & 2 \\
\end{pmatrix}$
Je dois donc résoudre le système suivant : $(A-2I)V_{3}=V_{2}$
\begin{cases}
& 4x-4y-2z&= ~1\\
& 2x-2y-z&=~0 \\
& 4x-4y-2z&=~2

\end{cases} Comme ce système n'a pas de solution, j'ai sûrement dû commettre une erreur de raisonnement mais je ne sais pas laquelle. Merci à ceux qui pourront m'aider à y voir plus clair.

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Vu que le noyau de $A-2\mathrm{I}_3$ est de dimension $2$, son image est de dimension $1$. Pour avoir la forme que tu souhaites, il faut prendre pour deuxième vecteur de base un élément $V'_2$ qui appartient à cette image $F$ (pourquoi ?). Les calculs que tu as faits montrent que le $V_2$ que tu as choisi n'est pas dans $F$.

    Tiens, mais ça me donne une idée ! Pourquoi ne prends-tu pas un vecteur $V_3$ au hasard (par exemple $V_3=(1,0,0)$ ou $V_3=(0,0,1)$ et $V'_2=AV_3-2V_3$ ? Pourquoi est-ce que ça marchera, à moins que tu n'aies la malchance que ton $V_1$ appartienne à l'image $F$ ?
  • michel001
    michel001
    Merci Math Coss d'avoir répondu, mais je n'ai pas bien compris : si $V'_{2}=AV_{3}-2V_{3}$. En composant par $A-2I_{3}$ de part et d'autre de l'égalité j'aurai :
    $(A-2I_{3})^{2}V_{3}=(A-2I_{3})V'_{2}$
    Comme $(A-2I_{3})^{2}$ est la matrice nulle, on aurait alors $V'_{2}$ qui appartient au noyau de $A-2I_{3}$, non ?
  • michel001
    michel001
    En fait $V_{2}$ doit appartenir à l'image de $A-2I$ puisque $(A-2I)V_{3}=V_{2}$, et ce n'est pas contradictoire avec le fait que $V_{2}$ doit aussi appartenir au noyau de $A-2I$.
    En prenant $V_{1}=\begin{pmatrix}
    1\\
    1\\
    0
    \end{pmatrix},\quad V_{2}=\begin{pmatrix}
    -2\\
    -1\\
    -2
    \end{pmatrix}\quad
    \text{et}\quad V_{3}=\begin{pmatrix}
    0\\
    0\\
    1
    \end{pmatrix}$
    on arrive à la matrice de Jordan demandée. Merci encore à Math Coss.
  • Math Coss
    Math Coss
    En effet, vu que $(A-2\mathrm{I}_3)^2=0$, l'image de $A-2\mathrm{I}_3$ (qui est la droite engendrée par $(2,1,2)$) est contenue dans le noyau de $A-2\mathrm{I}_3$.
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