Matrices de trace nulle
Bonsoir,
On note $M_0(n,\K)$ l'ensemble des matrices de $M_n(\K)$ de trace nulle. On prend $\K= \R$ ou $\K=\C$.
J'aimerais réussir cette question sans regarder le corrigé.
Je souhaite démontrer $(i) \implies (ii)$.
Soit $A$ une matrice nilpotente. Alors il existe un entier naturel non nul $r$ tel que $A^r=0$. Le polynôme $P(X)=X^r$ est annulateur de $A$ donc $sp(A) \subset \{0 \}$.
Puis-je en conclure que le spectre de $A$ est nul ?
On note $M_0(n,\K)$ l'ensemble des matrices de $M_n(\K)$ de trace nulle. On prend $\K= \R$ ou $\K=\C$.
J'aimerais réussir cette question sans regarder le corrigé.
Je souhaite démontrer $(i) \implies (ii)$.
Soit $A$ une matrice nilpotente. Alors il existe un entier naturel non nul $r$ tel que $A^r=0$. Le polynôme $P(X)=X^r$ est annulateur de $A$ donc $sp(A) \subset \{0 \}$.
Puis-je en conclure que le spectre de $A$ est nul ?
Réponses
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Encore une question débile !!! Pour la millième fois, reprends les bases de logique et de théorie des ensembles, c'est vraiment très grave que tu poses cette question !!!
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Rappelle-nous la définition de l'inclusion.
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J'avais un doute car dans $\C$, $Sp(A)$ est non vide...
Mais ici $\K$ n'est pas forcément égal à $\C$.
Il faut donc montrer l'inclusion inverse, c'est-à-dire que $\{0 \} \subset sp(A)$.
Réciproquement, comme $A^r=0$ alors $\det(A^r)=r \det(A)=0$ avec $r \ne 0$ alors $\det(A)=0$ et $A$ est non inversible. Ainsi, $0$ est valeur propre de $A$.
Par double inclusion, on a démontré $\boxed{sp(A)= \{0 \}}$
Montrons $(ii) \implies (iii)$
Soit $sp(A)=0$. Soit $f$ l'endomorphisme canoniquement associé à $A$. C'est un endomorphisme de $\K^2$.
Le polynôme caractéristique de $f$ vaut $\chi_f(X)=X^2$ (je ne suis pas sûr ici de la justification pour l'expression du polynôme caractéristique :-S) -
@raoul.S : bonsoir. Ne sois pas désolé. J'aurai bientôt 57 ans, ce qui fait que je suis certainement plus âgé que mon petit OS. ;-)Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
-
$A$ est une matrice non nulle et $A$ est dans le noyau de $A$ donc $Ker(A) \ne \{0 \}$. Donc $A$ n'est pas inversible.
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Une égalité est une double inclusion, une seule inclusion ne suffit pas et tu le sais, donc c'est dommage d'avoir posté un sujet pour poser cette question.
Pour la question suivante, si tu n'es pas sûr de la justification, c'est qu'il y a une zone d'ombre dans ton esprit et tu dois revenir sur le cours.
Quel doit être le degré du polynôme caractéristique ? Que représentent les racines du polynôme caractéristique ? Pourquoi ?
Quand tu sauras répondre à ces questions et que leurs réponses te paraîtront évidentes, tu n'hésiteras plus dans tes justifications. Bon courage. -
@OShine tu veux dire que $Im(A)$ est dans le noyau de $A$.
Oui c'est un argument valide mais il suppose que $A^2=0$ (donc que ton $r$ vaut 2, ce qui est effectivement le cas ici). Avec $A^3=0$ cet argument n'est plus valide... ce qui veut dire qu'on peut trouver encore plus simple.
Allez essaie de trouver un argument encore plus basique pour montrer que s'il existe un entier $r>0$ tel que $A^r=0$ alors $A$ n'est pas inversible.
@Thierry Poma (tu) -
Le degré du polynôme caractéristique est $2$.
Les racines du polynôme caractéristique sont les valeurs propres car $\lambda$ est valeur propre si et seulement si $u- \lambda id_E$ est non inversible si et seulement si $\chi_u(\lambda)=\det(\lambda id_E-u)=0$
Le polynôme caractéristique étant scindé, $f$ est trigonalisable dans une base $B=(e_1,e_2)$.
$Mat_B(f)=\begin{pmatrix}
0 & a\\
0 & 0
\end{pmatrix}$ avec $a$ non nul car $f$ n'est pas l'endomorphisme nul.
On a $f(e_1)=0$ et $f(e_2)=a e_1$
Posons $B'=(ae_1,e_2)$. Dans la base $B'$ on a $Mat_B' (f)=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}$
Montrons $(iii) \implies (i)$
Si $A$ est semblable à la matrice $X=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}$ alors il existe $P \in GL_2(\K)$ tel que $A= P X P^{-1}$ donc $A^2= P X^2 P^{-1}=0$
Donc $A$ est nilpotente. -
Raoul.S je n'ai pas tout compris avec l'histoire des puissances, mais par l'absurde si $A$ est inversible alors $A^r=0 \implies A^r A^{-1}= A^{r-1}=0$ et par itération $A=0$ ce qui est absurde.
-
En fait, il faut prendre l'habitude d'insister sur les points qui ne vont vraiment pas. Raoul est passé un peu vite sur cette énormité qui cache peut-être des grosses grosses lacunes dans sa tête. Un noyau, c'est un ensemble de vecteur mais il dit "A" donc il confond application et vecteur" et là, c'est très grave. Il ne faut pas banaliser ça. C'est aussi grave que de confondre une fonction $f$ et un argument $x$. Il dit qu'une application peut en annuler une autre alors que ce sont des nombres (arguments/vecteurs) qui annulent des applications.oS a écrit:$A$ est dans le noyau de $A$
Le corriger pour le relancer directement, à mon avis, c'est presque légitimer ses bourdes parce que le message envoyé, c'est "bah, c'est pas grave, t'en fais pas pour ça, on t'enlèvera pas de points pour si peu" alors que si, et qu'en plus, ça cache en dessous des pans entiers de théorie mal maitrisés.
Le déterminant c'est pareil. Il a confondu avec le log. Donc dans la tête d'OS, un log et un déterminant, c'est kiff-kiff.
Sans parler de l'utilisation abusive qu'il a du déterminant sans presque rien connaitre de sa conception (je rappelle qu'il l'avait utilisé pour une matrice de taille 1 il y a peu).
Il va sûrement répondre "étourderie, fatigue, mais je sais faire" mais avant ce soir, vous aurez une autre boulette.
Donc j'insiste mais si vous voulez l'aider, ne le corriger pas. Dites "cette phrase est fausse" ou "ce n'est pas correcte de dire ça" et attendez qu'il se corrige tout seul. Par contre, l'amener à faire des solutions plus simples techniquement, c'est très bien même si pour lui, avec le recul qu'il a, il n'en voit pas l'intérêt. -
Oui, c'est tout à fait ça. Il y a aussi "les boulettes de l'auteur du livre" et aussi "les rapports du jury" qui justifient que la question n'est faisable que par les génies.
P.S Depuis longtemps je pense que s'attaquer à des problèmes de L1, de concours d'écoles d'ingénieur, voire même de X et normale sup ne sert à rien alors qu'il y a des tas de problèmes de niveau collège et lycée à savoir résoudre,surtout si on est amené à enseigner. -
BD2017
Si je passe l'agrégation interne un jour dans 4-5 ans c'est pas avec des problèmes de collège lycée que je serai admis.
Le rapport du jury souligne la difficulté de cette question. -
OShine : Pourquoi est-ce que tu ne t'attaques pas à des sujets de recherche ? Vu que c'est beaucoup plus dur, tu auras beaucoup plus de chance d'avoir l'agrégation comme ça, CQFD !
-
Bonjour,
C'est pas possible d'être aussi têtu... Si tu passes l'agrégation interne un jour dans 4-5 ans et que tu ne maîtrises pas les problèmes de collège lycée, tu ne seras pas admis. -
Je n'ai pas les connaissances pour comprendre des sujets de recherches.
Par contre ce sujet de centrale PC porte sur l'algèbre linéaire de L1 et la réduction des endomorphismes de L2. J'ai étudié ces cours.
Cet exercice a quel rapport avec le programme de collège lycée ?
La suite du problème. A voir si j'arrive à trouver cette question.
Question II.D.1 :
Soient $A$ et $B$ deux matrices non nulles de $M_0(2,\C)$ et semblables. Alors il existe $P \in GL_2(\K)$ tel que $B=P^{-1} A P$
Donc $B-XI_2=P^{-1} A P - X I_2 = P^{-1} (A-XI_2) P$ d'où $\det(B-XI_2)=\det(P^{-1} (A-XI_2) P)=\det(P^{-1}) \det((A-XI_2) \det(P)=\det(A-XI_2)$
Donc $A$ et $B$ ont le même polynôme caractéristique.
Réciproquement, si $A$ et $B$ possèdent le même polynôme caractéristique, comme ce dernier est scindé sur $\C$, on a $\chi_A = \chi_B(X)=(X- \lambda)(X-\lambda')$ où $\lambda, \lambda' \in \C$.
Comme $Tr(A)=Tr(B)=0$ alors $\lambda + \lambda '=0$
Donc $\chi (X)=(X- \lambda)(X+ \lambda)$
Je bloque ici. -
Si tu bloques, promis tu vas comprendre tout seul en lisant le corrigé. Poser ton raisonnement non terminé ça n'a aucun sens ici, la question n'est pas difficile. Soit tu trouves la réponse tout seul (ça serait super!), soit tu lis le corrigé comme d'habitude (on attend plus grand chose de toi de toute façon) mais pas besoin de nous faire perdre notre temps...
-
OK par contre pour la question 2 comment faire pour trouver des contre exemples ?
Les corrigés donnent la réponse directement mais ils n'expliquent pas comment on fait pour le trouver. -
A chaque thème de niveau L1 (ou plus) que tu abordes on voit toujours
des failles importantes liées à des notions du secondaire.
Comme dernièrement, tu abordes les fonctions convexes
mais tu ne sais résoudre une petite inéquation du secondaire avec une ou deux
valeurs absolues et tu ne sais pas construire et ne visualises pas le barycentre de 2 , 3
points du plan.
Franchement , ici je n'ai pas envie de lire en détail comment tu as démontré
que "nilpotent" implique "la seule v.p est zéro."
Mais supposons qu'il y ait de l'idée, c'est certain que ta réponse est au minimum
alambiquée (avec des histoires de double inclusion) et quand je vois $det(A^r)=r det(A)$ !!
Bon pour moi aujourd'hui c'est encore un exemple qui montre que tu ne peux pas enseigner
les mathématiques correctement.
Ce qui me gène c'est tu vises sans cesse l'agrégation mais que tu ne cherches pas à avoir l'honneur d'avoir un niveau supérieur à beaucoup d' élèves que théoriquement
tu es censé avoir en face de toi. -
Pour trouver des contre-exemples, dans ce cas précis, il suffit d'avoir déjà rencontré deux matrices de $M_2(\R)$ qui ont le même polynôme caractéristique et ne sont pas semblables... et de rajouter ce qu'il faut pour avoir deux matrices non semblables de $M_3(\R)$ qui ont encore le même polynôme caractéristique et ont en plus leur trace nulle.
[EDIT] Mince j'ai été influencé par le titre... mais dans la question II.D, il ne semble pas être question de matrices de trace nulle. -
Cherche tout seul, et ton début de réponse est faux puisque rien ne dit que les matrices sont de trace nulle. Aie la courtoisie de ne pas demander d'aide après avoir cherché au moins 10 heures, retiens ceci.
Ensuite, pour t'aider à trouver des contre-exemples, une méthode est pas mal. Souvent tu rencontreras une question qui te demandera de prouver quelque chose avec certaines hypothèses sur les données. Puis en enlevant une hypothèse, on te demandera si la preuve tient toujours. La méthode est donc de relire ta preuve en te demandant si elle convient sans l'hypothèse en plus. Puis pour trouver un contre-exemple, il faut aussi le faire au regard de cette preuve, en prenant des données qui ne vérifient pas un des arguments utilisés. -
Pour la II. D. 1. le corrigé donne la solution mais il n'explique pas comment on fait pour y
arriver ! C'est à dire qu'il ne donne pas la solution. Cela n'est pas très clair.
Peut être que le corrigé dit que A et B ont le même déterminant et la même trace ... -
D'accord merci.
Deux matrices semblables ont le même rang, la même trace et le même rang.
Ce qui va permettre de trouver un contre exemple en dimension 3.
J'espère trouver un exemple différent du corrigé. -
Je souhaite démontrer $(i) \Longrightarrow (ii)$.
As-tu des posters ou des affiches chez toi, sur les murs ? -
Sato non.
Je pense avoir trouvé un contre exemple. A confirmer.
Posons $A=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}$
Elles ont le même polynôme caractéristique $X^3$ mais ne sont pas semblables car $rg(A)=1 \ne rg(B)=2$
On pose pour $n \geq 3$ : $A_n=\begin{pmatrix}
A & 0 \\
0 & 0 \
\end{pmatrix}$ et $B_n=\begin{pmatrix}
B & 0 \\
0 & 0 \
\end{pmatrix}$
Je ne comprends pas trop l'exemple du corrigé et l'histoire des matrices nilpotentes. Par ailleurs, il n'y a pas une erreur dans le polynôme caractéristique ? -
Pas d'erreur dans le polynôme caractéristique : cela dépend de la définition choisie. $\det(A-XI)$ ou $\det(XI-A)$... Ca ne change rien à ses propriétés.
Si deux matrices sont diagonalisables et ont même polynôme caractéristique, elles sont forcément semblables (vois-tu pourquoi ?). Donc on a envie de chercher un contre-exemple avec des nilpotentes. Attention, une matrice peut être ni diagonalisable ni nilpotente (les deux à la fois si nulle) mais alors Dunford prend la relève. Finalement, quand tu disais que ton corrigé n'expliquait rien, encore une fois, il expliquait juste ce que tu n'avais pas compris. Il ne balance pas les matrices de nulle part, il dit "on prend nilpotent" et ensuite, il les prends les plus simples possibles.
Et quand on regarde ta réponse et celle du corrigé, qui voudra croire que tu ne t'en es pas inspiré à 130% minimum ? -
C'était pour savoir si tu avais loué un marteau pneumatique chez Kiloutou afin d'enfoncer les épingles.
-
D'ailleurs $(-1)^n X^n$ c'est la convention du polynome caractéristique que tu as choisi plus haut B-)-
-
Alexique, oui 2 matrices ayant le même polynôme caractéristique et diagonalisables ont les même valeurs propres donc elles sont semblables.
Non j'ai trouvé un contre-exemple en utilisant l'indication de Bisam. Je suis parti en dimension 2 et j'ai complété la matrice.
J'ai n'ai pas compris la méthode avec les matrices nilpotentes. Pourquoi ils parlent de matrices nilpotentes alors qu'il y a que $A_3$ qui est nilpotente ? Comment ils trouvent par magie le $B_3 ^2=A_3$ ?
Nooeby ils prennent $\det(A_3-XI_3)$ alors que dans mon livre on donne $\det(XI_3-A_3)$.
$X I_3 - A_3=\begin{pmatrix}
X & 0 & -1\\
0 & X & 0 \\
0 & 0 & X
\end{pmatrix}$
Donc $\chi_{A_3} (X)= X^3$. -
Ben si $B^2=A$ et $A$ nilpotente, alors $B$ est aussi nilpotente non ? Tu comprends ce que tu écris ou pas du tout ?
C'est dans l'autre sens qu'il faut voir les choses. Ils posent $B$ nilpotente mais en mettant des 1 non pas au bord mais presque au bord, ils s'assurent que $B^2 \neq 0$ (on décale les 1 vers le bord) puis que $B^4=0$... C'est triste que tu ne comprennes pas du tout la logique de construction de ces matrices, triste que tu ne vois pas ces diagonales de 1 qui se décalent. -
Bonjour,
J'ai fait la suite très accessible, mais je bloque sur la question encadrée.
Je ne comprends pas le corrigé non plus. Il suppose que si $A$ et $B$ ont le même polynôme caractéristique alors :
$\chi(X)=X^2+ \det(A)=X^2+\det(B)$
Mais ensuite je ne comprends pas pourquoi il fait faire les 3 cas suivants : $\det(A)=\det(B)=-r^2$ avec $r \ne 0$, $\det(A)=\det(B)=0$ et $\det(A)=\det(B)=r^2$
Pour moi d'après l'énoncé on n'a qu'une seule possibilité $\det(A)=\det(B)=r^2$ car $\chi(X)=X^2+r^2$ :-S -
C'est quoi $H_0?$ Il y a un énoncé complet?
Je n'y comprend rien. Tu donnes des morceaux d'énoncés, des morceaux de corrigés... -
bd2017 a écrit:C'est quoi $H_0$? Il y a un énoncé complet?
C'est symptomatique de OShine, ça, et c'est pourquoi les gens ont l'impression qu'il n'a aucun recul sur ce qu'il fait. Il répond aux questions une par une, sans toujours voir le lien ou la progression entre elles, et ne tire pas toutes les conclusions de ses exercices. Quand il bloque sur un truc, il pense bloquer sur un aspect technique des maths, alors qu'en fait, ce qui le bloque c'est souvent un manque de vision globale qui lui permettrait soit de voir ce qu'on essaie de lui faire faire, soit où il est obligé de s'être trompé dans ses raisonnements.
Et il ne lit pas les commentaires non-mathématiques comme celui que je suis en train d'écrire non plus. Enfin, il les lit peut-être, mais il ne les prend pas en compte plus que ça. Et encore, j'appelle ça un commentaire non-mathématique parce que je n'y réponds pas à ses questions de maths sur ses exercices, mais je sais que bon nombre de lecteurs des fils de OShine savent que ce que je dis est essentiel à tout matheux qui se respecte, qu'il soit amateur, agrégé, thésard, prof ou chercheur. -
D'autre part $det(A)$ peut avoir tous les signes et je ne vois pas pourquoi tu exclus le cas $det(A)<0.$
-
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Et comme je le disais, il n'a pas eu la moindre réaction face à mon dernier message. Il me fait beaucoup penser à Pablo...
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Avec $H_0$ je comprends mieux. Donc A admet 2 valeurs propres distinctes imaginaires pures ir et -i r et est diagonalisable. Il existe donc P inversible t.q
$diag_2 (i r,- ir )= i r H_0= P^{-1}A P $
Il vient donc (puisque $(i r H_0)^2 + r ^ 2 I_2=0$ calcul)
$0=A^2 + r ^ 2 I_2$ (calcul) -
Je sais c'est les questions précédentes mais je n'ai pas compris les 3 cas.
-
3 cas c'est $\det(A)=0$ ou $\det(A)>0$ ou $\det(A)<0.$
-
Je ne comprends pas d'où sortent ces 3 cas.
Mon raisonnement :
Le polynôme caractéristique de $A$ vaut $X^2+r^2$ donc $\det(A)=\det(B)=r^2 >0$ car $r \ne 0$. -
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi on a soit :
1) $\det(A)=\det(B)=r^2$
2) $\det(A)=\det(B)=-r^2$
3)$\det(A)=\det(B)=0$
Le corrigé n'explique pas pourquoi on considère ces 3 cas :-S -
Peux-tu pointer précisément d'où te vient l'idée saugrenue que le polynôme caractéristique de $A$ (que tu n'as pas introduite) est de la forme $X^2+r^2$ ?
-
La question II.E.1.
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