Endomorphisme ou application linéaire
Bonjour,
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$. Soit $(e_1, \cdots, e_n)$ une base de $E$.
Soient $i,j \in [|1,n|]$.
On définit l'application $u_{ij} : \begin{cases}
e_j \mapsto e_i \\
e_k \mapsto 0 \ \text{si} \ k \ne j
\end{cases}$
Cette application linéaire est un endomorphisme ou juste une application linéaire ? Qui sont les ensembles de départ et d'arrivée ?
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$. Soit $(e_1, \cdots, e_n)$ une base de $E$.
Soient $i,j \in [|1,n|]$.
On définit l'application $u_{ij} : \begin{cases}
e_j \mapsto e_i \\
e_k \mapsto 0 \ \text{si} \ k \ne j
\end{cases}$
Cette application linéaire est un endomorphisme ou juste une application linéaire ? Qui sont les ensembles de départ et d'arrivée ?
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Réponses
Tu vois, c’est ce genre de moment où j’aimerais savoir toutes tes ignorances fondamentales, en faire une longue liste et te dire « reviens sur le forum quand tous ces points seront clairs pour toi, sans quoi discuter avec toi n’est qu’une perte de temps et d’énergie ». Et aussi le genre de moments où les gens qui t’aident doivent s’ouvrir les veines.
Comme le dit Poirot, débrouille toi. Va voir dans ton cours la définition d’une application linéaire en se donnant l’image d’une base. Le forum n’est pas là pour te faire des cours de maths, et ton bouquin de chez Dunod, n’est qu’un aide à bachotage pour taupin qui suit des cours de maths. Ce n’est pas un cours de maths. Je te l’ai déjà dit 100 fois. Apprendre avec ça, c’est ne rien comprendre. C’est pour quelqu’un qui a déjà un cours complet, un prof, des devoirs libres/surveilles et qui veut un petit plus pour se perfectionner avant les concours.
"Apprendre avec ça, c’est ne rien comprendre. C’est pour quelqu’un qui a déjà un cours complet, un prof, des devoirs libres/surveilles et qui veut un petit plus pour se perfectionner avant les concours."
A votre avis, quel serait un bon moyen d'apprendre les maths en autodidacte ?
On ne voit rien dans la définition de cette application qui permettrait de supposer qu'elle est définie sur $E$.
si on se donne une application linéaire on connaît l'espace de départ et l'espace d'arrivée.
Or la question est : « Qui sont les ensembles de départ et d'arrivée ? ».
OShine :
https://media.giphy.com/media/12HaecOFbqJqXS/giphy.gif
Je remets le contexte exact. $(\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n)$ est une base de $E$.
$\mathcal A$ est une sous-algèbre de $\mathcal L(E)$. On a montré qu'il existe $u_1, \cdots, u_n \in \mathcal A$ de rang $1$ tels que $u_i(\varepsilon_1)=\varepsilon_i$ pour tout $i \in [|1,n|]$.
Je ne comprends pas pourquoi c'est un endomorphisme. En plus, $u_i \circ u$ est défini de $E$ dans $Vec(\varepsilon_i)$ ce n'est pas un endomorphisme.
-Tous les mammifères sont des animaux
-Un chien est un mammifère
On peut en déduire gracieusement qu'un chien est un animal.
$ L(E,Vect(\varepsilon_i))$ n'est pas un endomorphisme.
Maintenant, je ne dirais pas que changer de bouquin suffirait à Oshine pour progresser et par ailleurs, ça peut convenir à certains.
@OS : oui, et est-ce que $vec(\epsilon_i) \subset E$ par hasard ? Parce que ta question, c'est ça... Le contexte ne change rien à ta question, très bien formulée dès le départ.
Exercice : Montrer que si $u\in L(E,Vect(e_i))$, avec $e_i\in E$, alors u est un endomorphisme.
Autrement dit, montrer que $Vect(e_i)$ est inclus dans $E$ dès lors que $e_i$ est dans $E$, qui est un espace vectoriel... :-S
Ne t'en fais pas, il nous arrive à tous de passer à côté de quelques évidences de temps en temps. Je pense que tu devrais revoir les bases de l'algèbre linéaire, à savoir ce qu'est un espace vectoriel de dimension finie, un vecteur, un espace engendré par une famille de vecteurs, une application linéaire, puis tu trouveras tout ça ridicule
Je reprends tes notations en supposant que $E$ soit un $\Bbb{K}$-espace vectoriel, $\Bbb{K}$ étant un corps. Pour rappel, si $e\in{E}-\{0_{E}\}$, $\mathrm{Vect}(e)=\Bbb{K}\,e$ est la droite vectorielle engendrée par le vecteur $e$. Ok ? Partant, sous cette même hypothèse\[\mathrm{L}\left(E,\,\Bbb{K}\,e\right)=\left\{\begin{array}{c|c}f&\begin{gather}f\in{}(\Bbb{K}\,e)^E\\\mathrm{ et }\\(\forall\,x)(\forall\,y)(\forall\,\alpha)\left((\alpha,\,x,\,y)\in\Bbb{K}\times{}E\times{}E\Longrightarrow{}f(x+\alpha\,y)=f(x)+\alpha\,f(y)\right)\end{gather}\end{array}\right\}\]où $(\Bbb{K}\,e)^E$ désigne l'ensemble des applications de l'ensemble $E$ dans l'ensemble $\Bbb{K}\,e$.
Cordialement,
Thierry
Je n'étudie que pas mon livre.
Là je fais un sujet Centrale PC 2010 maths 2 sur les systèmes de racines (algèbre linéaire et réduction) mais à mon rythme très lentement. (j'ai fait 5 questions en 2 jours) Je dispose de corrigés doc Solus payants qui sont très pédagogiques, contrairement au DUNOD. Il y a beaucoup de conseils et tout est détaillé à l'extrême.
@Grenouille Factorielle
$u$ appartient à l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $Vect(e_i)$ qui est aussi un espace vectoriel donc $u$ est une application linéaire.
Comme $e_i$ est un élément d'une base de $E$, il est non nul. Donc $Vect(e_i)$ est une droite vectorielle.
Comme $e_i \in E$ et que $E$ est un espace vectoriel, il est stable par combinaisons linéaires donc $Vect(e_i) \subset E$.
@Thierry Poma
Ok merci.
$u_{ij} : \begin{cases}
e_j \mapsto e_i \\
e_k \mapsto 0 \ \text{si} \ k \ne j
\end{cases}$
où les $e_i$ sont les éléments d'une base d'un espace vectoriel de dimension finie.
Ceci ne définit pas une application (Quel est l'ensemble de départ ? $\{e_i\}$ ? L'ensemble des vecteurs de base ? Et l'ensemble d'arrivée ? Donc ce n'est pas une application linéaire, ni un endomorphisme.
Manifestement, OS n'a pas lu l'énoncé, n'a pas fait attention à ce qui est écrit. Pourtant il y a d'autres choses autour de cette "définition" puisqu'il dit que c'est une application linéaire, ce que la "définition" ci-dessus ne dit pas.
Ce serait génial s'il commençait par lire vraiment les énoncés avant de venir poser des questions inutile est insensées (au sens étymologique). Quand on pense à tout le travail de ceux qui l'aident, alors que lui ne fait pas le minimum : Lire tout l'énoncé.
C’est exactement l’état d’esprit que tu as depuis tout ce temps et qui t’empêche de progresser mais vas y, continue.
Oui c'est vrai.
Alexique je préfère apprendre dans un livre. Le cours du dunod est assez complet. J'arrive mieux à mémoriser si j'apprends dans un seul livre, mémoire visuelle.
"Insanity is doing the same thing over and over again and expecting different results."
Grenouille factorielle a donné la réponse. $Vect(e_i) \subset E$ donc une application de l'ensemble $L(E,Vec(e_i))$ est un endomorphisme de $E$.
@Lee Sin
Je suis peut être faible tout simplement.
Après je ne bosse pas les maths comme le ferait un étudiant, c'est plutôt 1 heure par jour. J'ai beaucoup de choses à faire au collège.
J'ai peur que les cours de Alain Troesch soient d'un niveau trop élevé pour moi. Il fait beaucoup de hors programme : limite sup et limite inf, applications mesurables, boréliens...
Ses devoirs surveillés sont infaisables, c'est du niveau XENS.
Il manque les démonstrations.
Mais son cours est joli visuellement.
Les éléments de $L(E,Vec(e_i))$ ne sont pas des endomorphismes, sauf pour n=1 et i=1, et ton application a des images en dehors de $Vec(e_i)$. Il s'est moqué de toi et tu as marché ...
Je t'ai connu plus pointilleux sur les démonstrations, là tu baisses.
Apprends ce qu'est un endomorphisme ... Tu aurais compris la première réponse, celle de Poirot, si tu avais connu cette définition de vocabulaire.
Nous, on ne peut pas donner une correction, puisque tu n'as pas donné l'énoncé véritable, tu as seulement bêtement copié un bout de l'énoncé qui ne définit pas une application. Il faut te réveiller, tu collectionne les absurdités.
D'ailleurs sinon la preuve ne fonctionnerait pas.
Et c'est un corrigé sérieux fait par des profs agrégés en classe prepa ou en école d'ingénieur.
Le reste du corrigé n'a rien à voir et est très long. Ça conclut un sujet de 40 questions. C'est sans rapport avec ma question.
Ceux qui auront lu jusque là savent très bien de quoi il est question, il est normal que le corrigé ne rentre pas entièrement dans des détails aussi triviaux que l'utilisation d'un théorème du cours de Sup ("Toute application linéaire est entièrement déterminée par son action sur une base de l'espace vectoriel de départ"), ou pire devoir préciser quels sont les espaces de départ et d'arrivée quand ils sont évidents vu le contexte.
Pour rappel, Oshine semble toujours être coincé sur les deux dernières questions de ce sujet Centrale PC 2019 qu'il a commencé il y a environ 3 mois...
C'est juste la dernière question que je trouve très compliquée.
Je revois mon cours de sup :
Etant donné une base $e=(e_i)_{i \in I}$ de $E$, et une famille quelconque $(f_i)_{i \in I}$ de vecteurs d'un $\K$-espace vectoriel $F$, il existe une unique application linéaire $u$ de $E$ dans $F$ telle que $\forall i \in I \ u(e_i)=f_i$.
Les $u_i \circ u$ sont des éléments de $L(E,Vect(\varepsilon_i))$
Dans l'exemple du corrigé, $F=Vect(\varepsilon_i)$ et c'est bien un endomorphisme de $E$ car $Vect(\varepsilon_i) \subset E$ ?
Si comme tu le prétends tu as assimilé le cours de MPSI, pense aux matrices carrées, l'ensemble des applications linéaires d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $m$ dans un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$ est isomorphe à $M_{n,m}(\mathbb{K})$ (l'ensemble des matrices à coefficients dans K à n lignes et m colonnes)
Exercice (sérieux cette fois-ci) : $L(E,Vect(e_i))$ est isomorphe à $M_{?,?}(\mathbb{K})$ quand E est de dimension n et que $e_i$ est un vecteur non nul de E.
Dans ce même cas, $L(E)$ est isomorphe à $M_{?,?}(\mathbb{K})$
Que mettre à la place des "?" ?
Pourquoi $L(E,F)$ n'est pas inclus dans $L(E)$ ? Une application de $E$ vers $F$ n'est-elle pas une application de $E$ vers $E$ ?
N'importe comment, OS n'est pas capable de définir clairement ses fonctions $u_{ij}$, il ne comprend rien à son corrigé. Et se montre incapable de comprendre comment est définie une application ...
Cordialement.
Mais à quoi ça sert ici ?
Je n'ai toujours pas compris pourquoi l'application est un endomorphisme.
D'ailleurs, je ne comprends pas pourquoi si $F \subset E$ on n'a pas $L(E,F) \subset L(E)$. Pas compris l'explication de Gerard0.
Revois les cours de début de L1, pour savoir ce qu'est une application, comment on justifie que deux applications sont égales, etc.
"Je n'ai toujours pas compris pourquoi l'application est un endomorphisme" Moi non plus, tu n'as jamais défini cette application. Tu parles dans le vide !!
C'est atterrant qu'en 24 h tu n'aies pas été capable de dire de quoi tu parles !!! Tout simplement parce que tu parles sans savoir : Revois les cours de début de L1, pour savoir ce qu'est une application, comment on justifie que deux applications sont égales, etc.
L'application est définie dans le corrigé. Ce n'est pas moi qui l'ait inventée. Voici le passage.
Je sais ce qu'est une application et comment montrer que deux applications sont égales. Mais quelle rapport avec ma question ?
Pour montrer que deux applications $u$ et $v$ sont égales, il faut montrer que :
(i) l'égalité des ensembles de départ de $u$ et $v$.
(ii) l'égalité des ensembles d'arrivée de $u$ et $v$.
(iii) L'égalité $u(x)=v(x)$ pour tout $x$ de l'ensemble de départ commun.
@Thierry
$\dim L(E,\K e)=\dim E=n$ et $\dim L(E)=n^2$ et pour $n \geq 2$ ces dimensions sont différentes.
Comment justifier l'encadré du corrigé alors ?
C'est atterrant !!
Donc, si je comprends bien, le dernier corrigé donné par OS est impeccable, comparé à celui-ci donné il y a deux jours environ. C'est cela ?
Amicalement,
Thierry
La base de départ est une base de E. La famille d'arrivée est une famille d'éléments de E. L'élément nul est dans E.
On se donne d'abord une application linéaire $u$ de $\R^{n}$ dans $\R^{n}$ telle que, pour tout $i$ entre $1$ et $n$, on ait $u(e_{i}) = e_{1}$. $u$ est-elle un endomorphisme ?
Maintenant on suppose $n$ au moins égal à 2.
On se donne une application linéaire $v$ de $\R^{n}$ dans $Vect(e_{2})$ telle que, pour tout $i$ entre $1$ et $n$, on ait $v(e_{i}) = i e_{2}$. $v$ est-elle un endomorphisme ?
"Gérard0 donc c'est un endomorphisme de E ? "
Quand on sait lire, la phrase "l'endomorphisme ..." dit que c'est un endomorphisme. Ensuite, si la définition n'est pas évidente, on l'examine. Mais rien à voir avec ta première question.
Pour Thierry :
Je ne compare pas une question mal posée avec un corrigé rapide, qui laisse au lecteur le soin de comprendre et vérifier. Et je ne juge pas le corrigé d'un problème que je n'ai pas lu.
Cordialement.
C'est un corrigé payant de doc solus, je n'y ai accès qu'en lecture dans mon compte doc solus. J'ai pris un abonnement à l'année j'ai accès aux corrigés Centrale PC de mathématiques.
@Riemann
$u : \R^n \longrightarrow \R^n$ est un endomorphisme car $e_1 \in \R^n$ et il existe une unique application linéaire de $\R^n$ dans $\R^n$ telle que $u(e_i)=e_1$.
$v : \R^n \longrightarrow Vect(e_2)$ n'est pas un endomorphisme car $\R^n \ne Vect(e_2)$, en effet, $e_1 \in \R^n$ mais $e_1 \notin Vect(e_2)$
Donc c'est un endomorphisme de $\R^n$ ?