Antécédent d'une matrice par l'exponentielle

Lee sin
Lee sin
dans Algèbre
Bonjour,
La matrice $A=\begin{bmatrix}
-1 & 1 \\
0 & -1
\end{bmatrix}$ est-elle l'exponentielle d'une matrice à coefficients réels ?
Edit: j'ai trouvé quelques minutes après m'être lancé dans des trucs trop compliqués, la réponse n'est pas très difficile finalement.

Réponses

  • marco
    marco
    Si $A=e^B$, alors $1=\det A=e^{Tr(B)}$.
    $B$ est à coefficients réels, donc $Tr(B)=0$, donc la somme des valeurs propres de $B$ est nulle. Donc soit les valeurs propres de $B$ sont distinctes, soit elles sont toutes les deux nulles.
    Si elles sont distinctes alors $B$ est diagonalisable, donc $A=e^B$ aussi, ce qui n'est pas le cas.
    Si elles sont toutes les deux nulles, alors $B=P\begin{pmatrix} 0 & \lambda \\ 0 & 0 \end{pmatrix}P^{-1}$, donc les valeurs propres de $e^B$ sont toutes les deux $1$, ce n'est pas le cas non plus.
  • Lee sin
    Lee sin
    Exact, on peut aussi remarquer que B commute avec A, donc stabilise le sous-espace propre de A associé à la valeur propre -1, qui est une droite. B admet donc une valeur propre réelle a et le polynôme caractéristique de B est donc sous forme (X-a)(X-b) avec a+b = Tr(B) donc b est réel.
    On en déduit que B est trigonalisable (en tant que matrice réelle), donc les valeurs propres de exp(B) sont strictement positives (ce sont exp(a) et exp(b)), ce qui est absurde.
  • marco
    marco
    Oui, effectivement.
    On peut aussi poser la même question pour $A=\begin{pmatrix} -1 & a &b&c\\ 0 & -1 &d&e\\ 0&0& -1 &f \\ 0&0&0 &-1\end{pmatrix},$ selon les valeurs de $a,b,c,d,e,f \in \R$
    Je ne connais pas la réponse.
  • Lee sin
    Lee sin
    Je note $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ la base canonique de $\mathbb{R}^4$ et je commence par traiter le cas où tout ce qui est au dessus de la diagonale est non nul.
    On remarque alors que pour pour $1\leq i \leq 4$ on a $vect(e_1,\ldots,e_i) = \ker(A+I_4)^i$
    Si $B$ est telle que $e^B=A,\ $ $B$ commute avec $A$ comme tout à l'heure donc stabilise les sous-espaces caractéristiques et donc $B$ est triangulaire supérieure et on conclut comme avant que $B$ ne peut exister.
    La flemme de voir ce qui se passe lorsque les coefficients au dessus de la diagonale ne sont pas tous nuls.
  • marco
    marco
    Ah, oui, bravo !
  • jean lismonde
    jean lismonde
    Bonjour Marco

    tu cherches donc une matrice carrée X de format 4x4 telle que $exp(X) = A$ soit donc $X = ln(A)$
    avec A matrice carrée triangulaire supérieure de format 4x4 possédant une seule valeur propre r = - 1

    tu connais un développement taylorien de f(A) arrêté à la dérivée troisième
    au "voisinage" de $A = r.I$ (I est la matrice unitaire de format 4x4)

    de la fonction définie f, dérivable de variable une matrice A carrée triangulaire de format 4x4 de valeur propre unique r

    $f(A) = I.f(r) + (A - rI).f'(r) + (A - rI)^2\frac{f''(r)}{2!} + (A - rI)^3\frac{f'''(r)}{3!}$

    si f(x) = lnx alors f'(x) = 1/x et $f''(x) = - 1/x^2$ et $f'''(x) = 2/x^3$ et finalement pour r = - 1

    avec $f(- 1) = i\pi + 2ki\pi$ nombre complexe (on se limitera à k = 0) on obtient une matrice X complexe :

    $$X = lnA = I(i\pi) - (A + I) - \frac{1}{2}(A + I)^2 - \frac{1}{3}(A + I)^3$$

    Cordialement
  • mcd
    mcd
    Merci pour le l'exercice !

    Par hasard est-ce que vous savez comment on calcule la différentielle de l'exponentielle en $0$ ? Parce que je pense qu'on va me poser la question j'aimerais me préparer pour savoir quoi répondre.
  • noobey
    noobey
    Hello! En faisant le développement en série on a tout simplement :

    $\exp(0 + H) = I_n + H + o(H)$
  • Lee sin
    Lee sin
    Oui, 0, comme toutes les homothéties d'ailleurs ont le bon goût de commuter avec tout le monde, ça se complique nettement quand on cherche la différentielle ailleurs (voir Rouvière si intéressé)
  • marco
    marco
    Merci Jean Lismonde.
    Mais, l'exercice était de trouver une matrice à coefficients réels.
  • mcd
    mcd
    Ah c'est facile tant mieux ! Je pensais que c'était ardu. :)o

    Je viens de regarder la preuve du Rouvière, il y a en deux, exercice 39 et 101, le 39 consiste à dériver sous le signe somme et à regarder si la série des dérivées CU sur tout compact. Du coup on doit différencier l'application puissance $p$.
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