Isomorphisme entre groupes orthogonaux
Bonjour
Soit $G_{1} = \big(O_{n}(\mathbb{R}), \langle, \rangle _{1}\big)$ et $G_{2} = \big(O_{n}(\mathbb{R}), \langle, \rangle _{2} \big)$, j'aimerais montrer un isomorphisme de $G_{1}$ sur $G_{2}$. Autrement dit comment montrer que deux groupes orthogonaux pour les produits scalaire différents sont isomorphes. Je cherche un argument mais je ne vois pas trop l'instant. En voyez-vous un ?
Soit $G_{1} = \big(O_{n}(\mathbb{R}), \langle, \rangle _{1}\big)$ et $G_{2} = \big(O_{n}(\mathbb{R}), \langle, \rangle _{2} \big)$, j'aimerais montrer un isomorphisme de $G_{1}$ sur $G_{2}$. Autrement dit comment montrer que deux groupes orthogonaux pour les produits scalaire différents sont isomorphes. Je cherche un argument mais je ne vois pas trop l'instant. En voyez-vous un ?
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Réponses
Soit $O$ une matrice orthogonale pour le produit scalaire $A$, alors $^tOAO=A$.
Soit $U=POP^{-1}$, alors $^tUBU=B$, donc l'isomorphisme est $O \mapsto POP^{-1}$
Abitbol : Je ne vois pas. Typo : c'est $\mathbb{R}^{n}$ dans lui même. Et si oui elle est injective et si elle est linéaire elle est bijective. Et dans ce cas oui elle répond à la question
$$
f \mapsto \phi \circ f.
$$ Après je ne vois pas comment la construire sans évoquer une base mais ce cas autant prendre le solution de macro.
Par ailleurs, ce qu'on note $\mathrm{O}_n(\R)$, c'est le groupe des matrices orthogonales – i.e. les matrices $A$ telles que $A^{\mathsf{T}}A=\mathrm{I}_n$. On peut l'identifier au groupe des isométries du produit scalaire standard de $\R^n$, défini par $\langle X,Y\rangle=X^{\mathsf{T}}Y$ en identifiant une application linéaire et sa matrice dans la base canonique. Quand on écrit $(\mathrm{O}_n(\R),\langle \cdot,\cdot\rangle_1)$, le groupe est celui que je viens de décrire mais quel lien a-t-il avec le produit scalaire $\langle \cdot,\cdot\rangle_1$ ? [Tout ça pour dire que $\mathrm{O}_n(\R)$ ne désigne pas le groupe orthogonal de n'importe quel produit scalaire.]
La question doit être la suivante : on se donne deux produits scalaires euclidiens $\langle \cdot,\cdot\rangle_1$ et $\langle \cdot,\cdot\rangle_2$ sur $\R^n$, est-ce que leurs groupes d'isométries sont isomorphes ?
Oui mais ce résultat n'exige pas un théorème aussi gros que la diagonalisation simultanée !
Pour répondre dans l'esprit de George Abitbol, on travaille avec un seul produit scalaire $\langle \cdot,\cdot\rangle_1$. On peut choisir une base de $\R^n$, appliquer le procédé de Gram-Schmidt (bien moins cher que la diagonalisation simultanée ou le théorème spectral) et obtenir ainsi une base orthonormée. L'application qui à une isométrie de $(\R^n,\langle \cdot,\cdot\rangle_1)$ associe sa matrice dans cette base envoie le groupe des isométries de $\langle \cdot,\cdot\rangle_1$ sur le groupe orthogonal $\mathrm{O}_n(\R)$ (et c'est un isomorphisme).
$$
(PMP^{t} X, PMP^{t} Y)_{1}.
$$ Avec $M \in O_{n}$ et $P = mat(id, B',B)$ avec $B$ la base canonique et $B'$ la base gram smidth [large]G[/large]ram-[large]S[/large]chmidt.
Et comme là je vois pas, je suis plutôt la solution de macro même si je pense qu'en fin de compte les deux sont les mêmes.
[Tu n'es pas nouveau sur le forum ! Tu sais que les noms propres prennent [b]toujours[/b] une [b]majuscule[/b], et là tu t'en moques et en plus tu écorches le patronyme de l'un d'eux ! :-X AD]