Application de l'algo de Berlekamp

Bonjour à tous, j'essaye de faire marcher l'algo de Berlekamp à la main, sans succès.

Je veux décomposer le polynôme $P(X)=X^4+1$ sur $\mathbb{F}_3[X]$. Après avoir vérifié sa réductibilité, je calcule $M$ la matrice de $S_P-Id$, avec
$$ \begin{array}{cccl}
S_P : &\frac{\mathbb{F}_3[X]}{P} &\longrightarrow& \frac{\mathbb{F}_3[X]}{P} \\
&P(X)& \longmapsto& P(X^3)
\end{array}

$$ J'ai $M=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 &0 \\
0 & -1 & 0 &1 \\
0 & 0 & 0 &0 \\
0 & 1 & 0 &-1
\end{bmatrix}$ et donc le noyau de $M$ est $Vect\{(1,0,0,0),\ (0,1,0,1),\ (0,0,1,0)\}$.
Je choisis un polynôme $V$ dans le noyau de $M$ et non congru à un polynôme constant modulo $P$, par exemple $\quad V(X)=X^2$.
Et là j'utilise l'égalité $$
P(X) = \prod_{\alpha \in \mathbb{F}_3[X]} \mathrm{pgcd}(P,V- \alpha).

$$ Seulement, mes calculs donnent :
$\mathrm{pgcd}(P,V)=1$
$\mathrm{pgcd}(P,V-1)=2$
$\mathrm{pgcd}(P,V-2)=5$
Ce qui voudrait dire que $P(X)=10$...
Voyez vous mon erreur ? Ai-je mal compris l'application? J'ai vérifié mes calculs et pense que le problème vient de la dernière partie que je dois mal comprendre...
Bonne après midi,
Thibault