Famille liée de vecteurs
Bonjour,
Soit $\{e_1,\dots, e_k\}$ une famille liée de vecteurs de $\R^n$, dont les coordonnées sont $0$ ou $1$. Est-ce que l'on peut toujours trouver une combinaison linéaire à coefficients dans $\{-1,0,1\}$ de ces vecteurs, qui soit nulle ? Avec les coefficients non tous nuls évidemment.
Merci d'avance.
Soit $\{e_1,\dots, e_k\}$ une famille liée de vecteurs de $\R^n$, dont les coordonnées sont $0$ ou $1$. Est-ce que l'on peut toujours trouver une combinaison linéaire à coefficients dans $\{-1,0,1\}$ de ces vecteurs, qui soit nulle ? Avec les coefficients non tous nuls évidemment.
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Réponses
Soit en effet $a_1,a_2,a_3,a_4$ de tels coefficients. Alors on a $a_2+a_3 = 0$ (première ligne). Si les deux sont nuls, alors $a_1 = 0$ (dernière ligne) et donc $a_4=0$.
Donc ils sont non nuls, et quitte à changer tous les signes, $a_2 = 1, a_3 = -1$.
Alors $a_1+a_3 = 0$ (dernière ligne) implique $a_1 = 1$ et donc (ligne du milieu) $a_1 +a_2 + a_4 = 0$ implique $a_4 = -2$, ce qui est absurde.
La "preuve" d'AlainLyon ne marche évidemment pas puisqu'une combinaison linéaire dans $\mathbb Z/2$ n'implique en rien une combinaison linéaire dans $\mathbb Q$ (ou $\mathbb R,Z$)