Corps de nombres, déterminant, bases

Dans le théorème de l'élément primitif, on peut choisir un $\theta$ qui est entier algébrique, quitte à multiplier $\theta$ par un certain élément de $\mathbf{Z}$, donc oui, un corps de nombres admet toujours une base entière de ce type.

Ou alors taper corps de nombres monogènes dans un moteur de recherche.

Quant à la seconde question, il s'agit d'une conjecture de Dedekind (1881) démontrée pour la première fois par Minkowski (1890) avec l'aide de sa géométrie des nombres, introduites à la fin du 19ème. Ce résultat entre dans le cadre plus général de la finitude du groupe des classe d'un corps de nombres, et en particulier de la recherche d'une constante absolue $c_K> 0$ telle que, pour toute classe d'idéaux non nul de $K$, il existe un idéal de norme $\leqslant c_K$. Minkowski a découvert que $c_K = (4/\pi)^{r_2} \times (n! / n^{n}) \times |d_K|^{1/2}$ est admissible. Comme la norme d'un idéal entier non nul est $\geqslant 1$, on en déduit la minoration
$$|d_K|^{1/2} \geqslant (\pi/4)^{r/2} \times (n^n /n!) > 1$$
via les inégalités $r_2 \leqslant \frac{1}{2} n$ et $n^n/n! \geqslant 2^{n-1}$.

Ce résultat implique que tout corps de nombres $K \neq \mathbb{Q}$ a au moins un nombre premier qui se ramifie dans $K$.

Pour compléter la réponse de ndt, il existe cependant des extensions de corps de nombres $L/K$ qui sont non ramifiées, le discriminant relatif de l'extension est alors égal à $\mathcal O_K$.

Tu as vu dans ton cours la définition du discriminant d'un corps de nombres $K$, à partir d'une $\mathbb Z$-base de $\mathcal O_K$, et vu que celui-ci ne dépendait pas de cette base. Tu as également vu que les premiers ramifiés dans $K$ sont exactement les facteurs premiers de ce discriminant.

Il y a en fait une notion plus générale de discriminant, associé à une extension $L/K$ de corps de nombres, dont la notion ci-dessus correspond au cas particulier d'une extension de la forme $K/\mathbb Q$.

Soit $L/K$ une extension de corps de nombres. Comme $\mathcal O_K$ n'est en général pas principal, il n'est pas toujours vrai que $\mathcal O_L$ soit un $\mathcal O_K$-module libre de rang $[L:K]$, et on ne peut donc pas copier la définition usuelle du discriminant avec un $\mathcal O_K$-base de $\mathcal O_L$, mais on peut tout de même regarder les discriminants des familles de $\mathcal O_L$ qui forment une $K$-base de $L$. C'est précisément comme ça que l'on définit le discriminant relatif $D_{L:K}$, c'est l'idéal (de $\mathcal O_K$) engendré par les discriminants de telles familles.

On montre de même que les facteurs premiers de $D_{L/K}$ sont précisément les premiers de $K$ ramifiés dans $L$. Quand $L/K$ est non ramifiée (ce qui ne peut se produire que si $K \neq \mathbb Q$ d'après ce dont il est question ici), $D_{L/K}$ n'a donc pas de facteur premier : c'est l'idéal plein $\mathcal O_K$ !