Discriminant, base d'extension cyclotomique

Julia Paule · June 2021

Bonjour,

Soit $K=\mathbb{Q}(\zeta)$ un corps de nombres où $\zeta$ est une racine $n$-ème primitive de l'unité ($n>1$ entier naturel non forcément premier). Le polynôme minimal de $\zeta$ sur $\mathbb{Q}$ est le polynôme cyclotomique $\Phi_n(X)$ de degré $\varphi(n)$ (indicateur d'Euler). On a alors $[K: \mathbb{Q}]=\varphi(n)$ et une base de $K$ sur $\mathbb{Q}$ est $\cal{B}$ $=(1, \zeta, \zeta^2, \cdots, \zeta^{\varphi(n)-1})$.
Je cherche à calculer le déterminant de la base $\cal{B}$, $\Delta_{K,\mathbb{Q}} (\cal{B})$ = $(\det(\sigma_i(\zeta^j)))^2, 1 \leq i,j \leq \varphi(n)-1$, où les $\sigma_i$ sont les plongements de $K$ dans $\mathbb{C}$. Je sais le faire si $n$ est un nombre premier, mais pas dans le cas général.
En fait, ma question est aussi : $\cal {B}$ est-elle une base entière de $K$ ?

Un coup de pouce serait bienvenu. Merci d'avance.

Jean Vingt-trois · June 2021

Il me semble que c'est bien une base entière dans le cas où $n$ est une puissance d'un nombre premier, $n=p^r$. C'est fait par exemple dans le livre de L. C. Washington « Introduction to cyclotomic fields ». Au chapitre 2, est calculé le discriminant du corps de nombre $\mathbf{Q}(\zeta_{p^r})$.

Julia Paule · June 2021

Merci beaucoup. Je viens de le trouver aussi par hasard. Je crois que ma question est trop générale pour $n$ quelconque, laissez tomber.

Poirot · June 2021

Le discriminant d'un corps cyclotomique général est également bien connu, c'est également détaillé dans le livre de Washington cité ci-dessus.

Julia Paule · June 2021

Merci Poirot.

Ah c'est un discriminant, pas un déterminant, je m'emmêle sans arrêt entre les deux.

On parle du discriminant d'un polynôme, d'une base d'un corps de nombres, du corps de nombres, et du déterminant d'une matrice, d'une famille de n vecteurs ...

Poirot · June 2021

Ah et je n'avais pas lu la réponse de Jean Vingt-trois en entier, $(1, \zeta_n, \dots, \zeta_n^{\varphi(n)-1})$ est bien une $\mathbb Z$-base de l'anneau des entiers de $\mathcal O_{\mathbb Q(\zeta_n)}$. Ce doit être fait dans tout cours de théorie algébrique des nombres qui aborde les corps cyclotomiques, et à nouveau dans le livre de Washington.

noix de totos · June 2021

Julia Paule a écrit:

Ah c'est un discriminant, pas un déterminant, je m'emmêle sans arrêt entre les deux

Par définition, le discriminant d'un corps de nombres est un déterminant (ou plus exactement un carré de déterminant).

Plus précisément, avec les notations usuelles, et si $\{ \alpha_1,\dotsc,\alpha_n\}$ est une base entière de $K$, le déterminant $\left( \det \left( \sigma_i(\alpha_j) \right) \right)^2$ est indépendant du choix de la base : c'est le discriminant de $K$, noté $d_K$.

Quant au discriminant du corps cyclotomique $K = \mathbb{Q}(\zeta_n)$, il est égal à
$$d_K = (-1)^{\varphi(n)/2} n^{\varphi(n)} \prod_{p \mid n} p^{-\varphi(n)/(p-1)}.$$
Dans le cas particulier où $K = \mathbb{Q}(\zeta_p)$ avec $p$ premier, alors $d_K = (-1)^{(p-1)/2} p^{p-2}$.

Edit. Coquille corrigée.