$\Z$ anneau principal

Ta question n'a pas beaucoup de sens puisque le caractère euclidien de $\mathbb Z$ est "toujours là" même si tu fais semblant que non. Tu peux très bien écrire une démonstration du caractère principal de $\mathbb Z$ sans invoquer la division euclidienne, mais rien ne te dit que tu ne te sers pas en fait de ce qui fait de $\mathbb Z$ un anneau euclidien dans ta démonstration...

On peut reformuler ta question de manière plus rigoureuse en prenant une (tentative d') axiomatisation de $\mathbb Z$ où la division euclidienne ne serait pas un théorème mais le caractère principal si, mais je ne sais pas si ça existe (en tout cas le caractère euclidien est prouvable dans l'arithmétique de Peano par exemple).

Je pense que c'est à peu près équivalent à Bézout, puisque $\Z$ est noethérien et intègre.

Reste donc à voir si on peut prouver Bézout sans division euclidienne: cela me parait compromis, mais qui sait...

Le truc c'est que pour $\Z$ tout repose à peu près sur la division euclidienne, ou le bon ordre sur $\N$ (à peu près la même chose), donc ça risque d'être compliqué.

Oui tout à fait. D'ailleurs en théorie algébrique des nombres, on cherche beaucoup (enfin, c'est l'impression que j'en ai de l'extérieur) à comprendre la structure des idéaux des anneaux d'entiers de corps de nombres (ou de corps un peu plus compliqués, selon le type d'arithmétique qu'on fait).


L'exemple typique étant le groupe de classes (qui est lié au groupe de Picard, et fait donc apercevoir un lien entre arithmétique et géométrie algébrique)

De manière plus terre à terre, la structure des idéaux est liée à des propriétés comme la factorisation en nombres premiers (par exemple la décomposition primaire), ou encore le théorème de Bézout.

D'ailleurs le mot "idéal" vient, je crois, de ce qu'on essayait de compenser le fait que les éléments de ces anneaux d'entiers ne se comportaient pas aussi bien que sur $\Z$ en considérant des "nombres idéaux", qui, eux, avaient de meilleures propriétés arithmétiques.