Matrices de SL(2,Z/NZ)

mcd
mcd
dans Algèbre
Bonjour

Soit $M = \begin{pmatrix} 18 & 14 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ comment trouver une matrice $M_{0} \in SL_{2}(\Z)$ telle que $M_{0} = M [21]$ ?

Merci pour votre aide.

Réponses

  • MrJ
    MrJ
    Qu’est-ce que $M[21]$?
  • marsup
    marsup
    Bonjour,

    Je pense que ça veut dire que les deux matrices doivent être congrues modulo 21.
  • marsup
    marsup
    Peut-être qu'on peut essayer de résoudre modulo 3, et modulo 7 et de faire quelque chose avec les deux résultats obtenus ?
  • Guego
    Guego
    On teste bêtement 
    N=10
for k1 in range(-N,N+1):
	for k2 in range(-N,N+1):
		for k3 in range(-N,N+1):
			for k4 in range(-N,N+1):
				if (18+21*k1)*(2+21*k4)-(4+21*k3)*(14+21*k2)==1:
					print([[18+21*k1, 14+21*k2],[4+21*k3,2+21*k4]])
    et on obtient : 
    [[-171, -196], [130, 149]]
[[-150, 203], [-17, 23]]
[[-129, 77], [67, -40]]
[[-129, 98], [25, -19]]
[[-108, 119], [-59, 65]]
[[-87, -112], [-80, -103]]
[[-87, -28], [-59, -19]]
[[-87, -7], [25, 2]]
[[-87, 14], [-143, 23]]
[[-87, 56], [-101, 65]]
[[-87, 161], [67, -124]]
[[-66, 161], [25, -61]]
[[-45, -28], [172, 107]]
[[-45, -7], [-122, -19]]
[[-45, 77], [-38, 65]]
[[-24, -175], [-17, -124]]
[[-24, -7], [151, 44]]
[[-24, 35], [-59, 86]]
[[-24, 119], [25, -124]]
[[-3, -112], [4, 149]]
[[-3, -49], [4, 65]]
[[-3, -7], [-80, -187]]
[[-3, -7], [-17, -40]]
[[-3, -7], [46, 107]]
[[-3, 14], [4, -19]]
[[-3, 77], [4, -103]]
[[-3, 140], [4, -187]]
[[18, -91], [-17, 86]]
[[18, -7], [-59, 23]]
[[18, 35], [109, 212]]
[[18, 77], [25, 107]]
[[39, -196], [-38, 191]]
[[39, 35], [-185, -166]]
[[39, 56], [-101, -145]]
[[39, 140], [-17, -61]]
[[39, 224], [4, 23]]
[[60, -7], [-17, 2]]
[[60, 77], [67, 86]]
[[81, -49], [-38, 23]]
[[81, 119], [130, 191]]
[[102, -175], [109, -187]]
[[102, 35], [67, 23]]
[[123, -112], [67, -61]]
[[123, -28], [-101, 23]]
[[144, 161], [-17, -19]]
[[186, 35], [-101, -19]]
[[207, -133], [193, -124]]
[[207, -7], [-59, 2]]
[[207, 77], [-164, -61]]
  • Guego
    Guego
    Sinon, moins bêtement : on cherche $(k_1,k_2,k_3,k_4)\in \Z^4$ tel que $(18+21k_1)(2+21k_4)-(4+21k_3)(14+21k_2)=1$. Cette équation équivaut à $21 k_1 k_4 - 21 k_2 k_3 + 2 k_1 - 4 k_2 - 14 k_3 + 18 k_4 = 1$.
    Si on veut juste une solution, on a l'embarras du choix. On peut prendre $k_1 = 0$ et $k_2 = 1$, par exemple. Il reste $-35 k_3 + 18 k_4 = 5$, qui est une équation diophantienne classique admettant une infinité de solutions.
  • mcd
    mcd
    Merci pour vos commentaires, j'avais trouvé 39,140],[4,23 qui n'est pas dans les solutions proposées lol. Ca doit être à cause des range :)o

    EDIT : Je me suis trompé
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