Matrices semblables

etanche · May 2021

Bonjour

Avec la première réponse de Math Coss et le critère de john_john on peut avoir trois questions

1/
$A,B \in M_n(R),\quad A^2=A,\quad B^2=B, \quad K=A+B$.
Montrer que les matrices par blocs [suivantes] sont semblables
$$R=\begin{pmatrix} K & A\\ 0 & -K \end{pmatrix}\qquad\text{et}\qquad S=\begin{pmatrix} K & 0\\ 0 & -K \end{pmatrix}$$

2/ Qu’en est-il si on suppose $A^2=B^2=I_n$?

3/ Démontrer le critère de john_john

Merci.

Indication : Comme d’habitude trouver $T$ triangulaire supérieure par bloc telle que $T^{-1}ST=R$.
Source feuille exos maths spé M’.

etanche · May 2021

Désolé il y avait une faute de frappe $ A ,B$ sont des matrices de projections et non de symétries.

Math Coss · May 2021

En effet, la propriété est fausse avec des réflexions.

sage: A = Matrix(2,2,[1,0,0,-1])
sage: B = Matrix(2,2,[sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2])
sage: A, B
(
[ 1  0]  [ 1/2*sqrt(2) -1/2*sqrt(2)]
[ 0 -1], [-1/2*sqrt(2) -1/2*sqrt(2)]
)
sage: K = A+B; R = block_matrix([[K,A],[zero_matrix(2),-K]]); S = block_diagonal_matrix([K,-K])
sage: K, R, S
(
[ 1/2*sqrt(2) + 1     -1/2*sqrt(2)]
[    -1/2*sqrt(2) -1/2*sqrt(2) - 1],

[ 1/2*sqrt(2) + 1     -1/2*sqrt(2)|               1                0]
[    -1/2*sqrt(2) -1/2*sqrt(2) - 1|               0               -1]
[---------------------------------+---------------------------------]
[               0                0|-1/2*sqrt(2) - 1      1/2*sqrt(2)]
[               0                0|     1/2*sqrt(2)  1/2*sqrt(2) + 1],

[ 1/2*sqrt(2) + 1     -1/2*sqrt(2)|               0                0]
[    -1/2*sqrt(2) -1/2*sqrt(2) - 1|               0                0]
[---------------------------------+---------------------------------]
[               0                0|-1/2*sqrt(2) - 1      1/2*sqrt(2)]
[               0                0|     1/2*sqrt(2)  1/2*sqrt(2) + 1]
)
sage: R.minpoly()
x^4 + (-2*sqrt(2) - 4)*x^2 + 4*sqrt(2) + 6
sage: S.minpoly()
x^2 - sqrt(2) - 2

etanche · June 2021

Comment faire pour envoyer cet exercice aux astronautes de la station spatiale internationale ?
Ce serait bien qu’ils postent leurs solutions sur le forum.

Math Coss · June 2021

Tu l'imprimes, tu le mets dans une bouteille et tu lances très fort la bouteille. Si tu as de la chance (ou si tu calcules bien) elle arrivera juste à côté du hublot de ton astronaute préféré.

Tonm · June 2021

Bonjour, a priori ça va être $T=\begin{pmatrix} I & X\\ 0 & I \end{pmatrix}\qquad\text{et}\qquad T^{-1}=\begin{pmatrix} I & -X\\ 0 & I\end{pmatrix}.$ ($I$ matrice identité).
Puis une équation de la forme $X(A+B)+(A+B)X=-A$, une équation en $X$ bien connue, je ne suis pas trop [top ? AD] en ces résolutions...
Un peu inattendu voilà un lien https://journals.uwyo.edu/index.php/ela/article/view/959
Critères Roth etc

Guego donne une solution (à signe prés) de $X(A+B)+(A+B)X=A$ voir posts suivants.
Bonne journée.

Edit. 2

john_john · June 2021

Tonm : pas seulement a priori ! Dans Réduction des endomorphismes de Mneimné, on trouve le résultat suivant :

$\begin{pmatrix} U & V\\ 0 & W \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} U & 0\\ 0 & W \end{pmatrix}$ sont semblables si, et seulement si, $V$ est de la forme $UM-MW$. Ici, $U$ et $V$ sont carrées et $V$ est de format ad hoc.

Avec tes notations, as-tu essayé $X=\lambda A+\mu B+\nu\,{\rm Id}$ ;-) ?

Guego · June 2021

$X=\dfrac{1}{4}(I+A-B)$ convient. Ce qui soulève la question : le résultat souhaité est-il encore vrai en caractéristique $2$ ?

john_john · June 2021

Grillé par Guego ! Cela m'apprendra à rajouter des espaces fines pour améliorer le rendu :-X:-X:-X

john_john · June 2021

En caractéristique $2$, c'est faux pour $A=B\neq0$.

Tonm · June 2021

Oui @John je me suis aperçu c'est un critère de Roth je crois,
en tout cas il doit y avoir quelque chose qui manque parce que si $A=-B$ il y a un problème puisqu'on aura une matrice nulle.
Edit (faute d'un signe merci)
Cordialement.

Guego · June 2021

Tonm a écrit:

si $A=-B$ il y a un problème

Si $A=-B$, $A$ et $B$ ne peuvent pas être tous les deux des projecteurs. On n'est donc plus dans les hypothèses de l'énoncé.

etanche · June 2021

@ Math Coss, Tonm, john_john, Guego merci pour vos réponses.

john_john · June 2021

De rien, Etanche, et merci pour cet exo intéressant...

MrJ · June 2021

@john_john : Le critère que tu cites venant du livre de Mneimné est-il difficile à démontrer?

etanche · June 2021

@ MrJ peux-tu poster ou prendre une photo (si c'est possible) la démo du critère du livre Réduction des endomorphismes de Mneimné, merci.

MrJ · June 2021

@etanche : Justement, je ne l’ai pas et je ne connaissais pas ce critère... C’est john_john qui l’a cité dans un message précédent.

C’est peut-être « juste » un calcul, mais je n’ai essayé de le faire pour le moment par manque de temps.

Tonm · June 2021

Bonjour, dans le lien de l'article du journal que j'ai mis, le critère est sous le nom de critère de Rôth..
Ce qui suit n'est pas la preuve complète du critère:
Si on suppose que les matrices blocs sont carrés de même dimension et $V=UX-XW$ alors $T \begin{pmatrix}U&V\\0&W \end{pmatrix}
T^{-1}=\begin{pmatrix} U &0 \\ 0 & W\end{pmatrix}$
Avec $T=\begin{pmatrix}I&X\\0&I \end{pmatrix}$.

Inversement supposant qu'il existe $T$ tel que $T=\begin{pmatrix}A&B\\C&D \end{pmatrix}$ et $T\begin{pmatrix}U&V\\0&W \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}U&0\\0&W \end{pmatrix}T$, par un calcul on obtient nécessairement que $AU=UA$ et $AV=UB-BW$ ce qui implique que $\begin{pmatrix}U&0\\0&W \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}U&AV\\0&W \end{pmatrix}=R$ sont semblables. Aussi pour $A$ inversible
$V=A^{-1}UB-A^{-1}BW$ puisque $A^{-1}$ commute avec $U$ on écrit $V=U(A^{-1}B)-(A^{-1}B)W$ ce qui est le résultat.

[Dans le cas de $A$ inversible $R$ et $S= \begin{pmatrix}U&V\\0&W \end{pmatrix}$ sont semblables par la matrice $T_1=\begin{pmatrix}A&0\\0&I \end{pmatrix}$, $T_1ST_1^{-1}=R$]
Si $A$ n'est pas inversible à voir.
Edit
Cordialement.