Matrices telles que X^4=I_n
Réponses
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Bonsoir
$ABA=B$, donc $ABAB=BB$ donc $A^2=B^2$ Ainsi $A^4=B^2.A^2=B^2.ABA.B=B^2BB=B^4$.
Je n'ai pas encore regardé l'égalité avec l'identité certainement demain je terminerai l'exercice. -
Bonjour
Bon si on a montré que $A^2=B^2$ alors $A^4=B^4$
Ensuite $ A^2 =BAB BAB =BA A^2 A B =B A^4 B=B^2 $
D'où $A^4=I=B.$
Les valeurs propres possibles de A (resp sont $\pm 1 \pm i $
puis continuer... -
Bonjour,
Plutôt $A^2=B^6=A^6=A^2A^4$ donc $A^4=I$ car $A^2$ est inversible.
Cordialement,
Rescassol -
Exemple de matrices $A$ et $B$ non triviales qui vérifient les relations demandées : $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$.
On peut aller plus loin et se demander à quel groupe connu est isomorphe le groupe engendré par $A$ et $B$ et quelles sont ses représentations irréductibles. -
Bon, en fait, j'ai la réponse à ma dernière question : le groupe engendré par $A$ et $B$ est le groupe des quaternions.
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Guego : on demande des matrices réelles. Si tu en as ça m'intéresse.
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Il suffit de demander : $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0\end{pmatrix}$.
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Merci Guego !
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Bonjour,
Je ne vois pas ce qui te fait rire, bd2017.
Tu as écrit $A^2 =BAB BAB =BA A^2 A B =B A^4 B=B^2$
Alors que tu aurais dû écrire $A^2 =BAB BAB =BA A^2 A B =B A^4 B=B B^4 B=B^6$.
Cordialement,
Rescassol
Edit: Ceci dit, il n'y a pas qu'une façon. -
Guego a écrit:Bon, en fait, j'ai la réponse à ma dernière question : le groupe engendré par $A$ et $B$ est le groupe des quaternions.
A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad
B = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.\] Le groupe est $\Z/2\Z$ et, si on supprime le signe $-$, c'est même peut-être le groupe trivial.
La bonne réponse est sans doute « un quotient du groupe quaternionique ». Cela doit dépendre de l'ordre de $AB$, qui doit pouvoir être $1$, $2$ ou $4$. -
Bonjour
De $ABA=B,$ on tire $BAB^{-1}=A^{-1}$, puisque $A$ et $B$ sont inversibles.
On constate alors que $A$ et $B$ satisfont la présentation
$$ \langle a,b\mid a^4=1,\ b^2=a^2,\ bab^{-1}=a^{-1}\rangle\simeq \mathbb H_8
$$ qui est une présentation du groupe des quaternions à $8$ éléments.
On en déduit que le groupe $\langle A,B\rangle$ est un quotient de $\mathbb H_8$.
Les quotients possibles sont :
$\triangleright ~\mathbb H_8$,
$\triangleright ~\mathbb H_8/\langle a^2\rangle\simeq C_2\times C_2$,
$\triangleright ~\mathbb H_8/\langle a\rangle\simeq C_2$,
$\triangleright ~\mathbb H_8/\langle a,b\rangle\simeq \{1\}$.
Alain -
Poursuivons. L'élément $z=a^2=b^2=(ab)^2$ est central et d'ordre $2$ dans $\mathbf{H}_8$ et il appartient à tout sous-groupe normal.
Avec deux matrices $A$ et $B$ qui en définissent une représentation, on sépare d'un côté $\ker(A^2-\mathrm{id})$, sous-espace sur lequel $\mathbf{H}$ agit via un quotient abélien $\mathbf{H}_8/\langle z\rangle$ ; les matrices $A$ et $B$ « restreintes » à ce sous-espace sont simultanément diagonalisables et leurs valeurs propres sont $\pm1$ (indépendamment), d'où quatre sous-espaces possibles (Guego l'avait suggéré à travers le bloc 2x2 en haut à gauche).
D'un autre côté, on a $\ker(A^2+\mathrm{id})$, espace qui est muni d'une structure d'espace vectoriel sur le corps des quaternions. Sur $\R$, les matrices $A$ et $B$ sont semblables à des matrices diagonales par blocs dont les blocs diagonaux sont donnés par Guego. Sur $\C$, idem avec les blocs 2x2 en bas à droite de son message précédent. -
Rescassol a écrit:Tu as écrit $A^2 =BAB BAB =BA A^2 A B =B A^4 B=B^2$
Alors que tu aurais dû écrire $A^2 =BA^4B =BB^4 B= B^6 $
Où est le problème? $ BA^4 B =B^2$ implique directement que $A^4 =I$ car B est inversible...
Pourquoi être obligé d'écrire une autre identité qui n'apporte rien de plus? -
Bonjour,
C'est juste la façon de rédiger, j'ai les réflexes de celui qui lit un travail d'élève, même si ce n'est pas le cas. Dans $A^2 =BAB BAB =BA A^2 A B =B A^4 B=B^2$, je lis le dernier $B^2$ comme une conséquence du $BA^4B$ précédent (et dans ce cas c'est $B^6$ parce que $A^4=B^4$), alors que tu le tires du $A^2$ du début de la ligne égal à $B^2$ à cause de la propriété précédemment démontrée. On est d'accord, mais le cheminement n'était pas clair pour moi.
Cordialement,
Rescassol
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